Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru называется положительно определенной, если значение Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru на каждом ненулевом значении Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru больше нуля, т.е.:

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , если Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru

Если же Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru на каждом Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – ее канонический базис, а выражение Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru канонический вид Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru в базисе Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена тогда и только тогда, когда Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru ,…, Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .

2. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отрицательно определена тогда и только тогда, когда Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru ,…, Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .

Доказательство:

Необходимость. Дано, что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – положительно определенная форма. Так как Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , то Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru и поэтому Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru ,…, Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .Нужно доказать, что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru и разложим его по базису Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru :

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru

Так как Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , то в разложении Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru не все коэффициенты равны нулю. Следовательно Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , так как Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru ,…, Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru и среди чисел Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительны.

2. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отрицательны.

Доказательство:

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru пространства Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , и пусть Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Тогда Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – канонический базис квадратичной формы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , а выражение Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – ее канонический вид в базисе Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительны.

2. Квадратичная форма Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru четного порядка положительны, а главные миноры матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru нечетного порядка отрицательны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Итак, матрица Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , которая является каноническим базисом Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , причем выражение Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – ее канонический вид в базисе Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , и значит, что Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru .

Достаточность. Если Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , то угловые миноры матрицы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru отличны от нуля, и можно построить канонический базис квадратичной формы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , в котором Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru – канонический вид квадратичной формы Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru . Поскольку Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru , то Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы - student2.ru положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Наши рекомендации