Нормальное уравнение плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется уравнение:

,

(6.4)

где ‑ углы между перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, и положительным направлением осей координат, а ‑ расстояние от плоскости до начала координат.

Нормальное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при являются координатами единичного вектора , перпендикулярного плоскости, а свободный член – отрицательный.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду умножением его на нормирующий множитель , при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена (если , знак можно выбрать любой).

Отклонением точки от плоскости называется ее расстояние от плоскости, взятое со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости (Рис. 6.1), и со знаком минус – если и лежат по одну сторону от плоскости.

Отклонение точки от плоскости определяется по формуле .

Следовательно, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо привести уравнение плоскости к нормальному виду и в его левую часть вместо подставить координаты точки . Получим отклонение . А расстояние .

Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны плоскости и . Угол между ними равен углу между перпендикулярными к ним векторам и . Косинус этого угла вычисляется по формуле:

(6.5)

Плоскости параллельны, если и коллинеарны, т.е.:

(6.6)

Условие перпендикулярности плоскостей ‑ , т.е.:

(6.7)

Если даны три плоскости:

,

(6.8)

то их общие точки определяются системой уравнений (6.8).

В случае, если перпендикулярные этим плоскостям векторы , , некомпланарны, три плоскости имеют единственную общую точку.

В самом деле, тогда смешанное произведение , а записанный определитель является определителем системы уравнений (6.8), и, следовательно, система (6.8) имеет единственное решение.

Контрольные вопросы к лекции №6

1. Понятие поверхности -го порядка.

2. Общее уравнение плоскости.

3. Понятие нормального вектора плоскости.

4. Уравнение плоскости в отрезках.

5. Нормальное уравнение плоскости.

6. Вычисление отклонения точки от плоскости.

Лекция 7. Кривые второго порядка

Основные понятия:

эллипс; гипербола; парабола; фокусы эллипса; уравнение эллипса; каноническое уравнение эллипса; эксцентриситет эллипса; фокальные радиусы; директрисы эллипса; фокусы гиперболы; каноническое уравнение гиперболы; асимптота гиперболы; оси гиперболы; вершины гиперболы; полуоси гиперболы; эксцентриситет гиперболы; фокальные радиусы гиперболы; директрисы гиперболы; каноническое уравнение параболы; ось параболы.

Уравнение фигуры

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными и записывается в виде . Если выбрать на плоскости некоторую прямоугольную систему координат, то в ней уравнение называется уравнением фигуры при выполнении следующих двух условий:

1. Если точка принадлежит фигуре , то координаты являются решениями уравнения , т.е. ;

2. если пара чисел является решением уравнения , то точка принадлежит фигуре .

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть – решение уравнения .

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру , уравнением которой является ;

2. дана фигура и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);

2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между и ).

Точки и называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через , а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через , имеем . Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины закрепить в точках и и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной
(Рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось походила через фокусы и , положительное направление оси – от к , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно и .

Пусть ‑ произвольная точка эллипса, тогда:

,

.

По определению эллипса . Подставляя сюда значения и , имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим: .

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или

(7.2)

Положительную величину обозначим через . Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами . Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами и :

x

a

c

O

-c

-a

2b

y

b

-b

Рис. 7.3.

-

2a

Рис.

7.3

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени и . Поэтому, если точка принадлежит эллипсу, то и точки , , также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей и .

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании от до , монотонно убывает от до . График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Оси симметрии эллипса (оси и ) называются просто его осями, а центр симметрии – точка ‑ центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси (как в нашем случае), из равенства , следует, что . В этом случае называется большой полуосью, а ‑ малой.

Если , то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси . Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат . Тогда преобразование, переводящее произвольную точку в точку , координаты которой задаются формулами , будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением .

y

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым (Рис. 7.6).

х

-b

e =0,8

e =0,6

b

Рис. 7.6.

a

-

a

e

=

Фокальными радиусами точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами и . Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а ‑ правой. Так как для эллипса , то и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. .

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между и ).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

(7.6)

где ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми и .

Так как в уравнение входят только четные степени и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .

График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

(7.7)

A(a,0)

Рис. 7.7

x

y

O

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны и параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Рис 7.8.

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки и пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Величины и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:

Для правой - ветви ,

Для левой - ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Если обозначить через расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси . Так как уравнение (7.8) содержит только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси ,и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании неограниченно растет и . Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.

y

D

Сделаем рису нок параболы (Рис. 7.10).

O

Рис.7.10

x

Рис.

7.10

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.