Нормальное уравнение плоскости

Три точки в пространстве Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Очевидно, что точка Нормальное уравнение плоскости - student2.ru лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

компланарны. В соответствии с критерием компланарности это равносильно тому, что смешанное произведение указанных векторов равно нулю:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Последнее равенство и является уравнением плоскости, проходящей через данные три точки. Если расписать этот определитель (например, по элементам первой строки), то получим общее уравнение плоскости.

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru Пусть плоскость определяется заданием вектора нормали Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , опущенного на плоскость из начала координат и длиной Нормальное уравнение плоскости - student2.ru этого вектора. Пусть также Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru - углы, образованные вектором Нормальное уравнение плоскости - student2.ru с координатными осями Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и Нормальное уравнение плоскости - student2.ru . Тогда единичный, сонаправленный с вектором Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , вектор Нормальное уравнение плоскости - student2.ru имеет координаты: Нормальное уравнение плоскости - student2.ru . Точка Нормальное уравнение плоскости - student2.ru лежит в указанной плоскости тогда и только тогда, когда справедливо равенство

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Так как

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

то критерий принадлежности точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru рассматриваемой плоскости может быть описан равенством:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Полученное равенство является уравнением данной плоскости, называемым ее нормальным уравнением.

Отклонением Нормальное уравнение плоскости - student2.ru точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru от данной плоскости называется расстояние Нормальное уравнение плоскости - student2.ru от этой точки до плоскости, взятое со знаком плюс, если точка Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и начало координат лежат по разные стороны от рассматриваемой плоскости, и взятое со знаком минус, если точка Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и начало координат лежат по одну сторону от рассматриваемой плоскости.

Рассмотрим произвольную точку Нормальное уравнение плоскости - student2.ru пространства. Спроектируем эту точку на вектор Нормальное уравнение плоскости - student2.ru . Пусть Нормальное уравнение плоскости - student2.ru - полученная проекция. Отклонение точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru от данной плоскости равно Нормальное уравнение плоскости - student2.ru . Очевидно, что

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

При этом

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Таким образом,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Другими словами, для нахождения отклонения точки от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и Нормальное уравнение плоскости - student2.ru координаты этой точки. Очевидно, что расстояние от точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru до плоскости Нормальное уравнение плоскости - student2.ru определяется равенством:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Отметим, что общее уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Можно привести к нормальному виду так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. Для этого нужно подобрать число Нормальное уравнение плоскости - student2.ru такое, что

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Возводя в квадрат первые три равенства, складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, получим:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru ,

Откуда

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Из равенства Нормальное уравнение плоскости - student2.ru следует, что знак Нормальное уравнение плоскости - student2.ru должен выбираться противоположным знаку свободного коэффициента Нормальное уравнение плоскости - student2.ru . Число Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , определяемое таким образом, называется нормирующим множителем. Если умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель, то получим нормальное уравнение. В соответствии с этими рассуждениями заключаем, что расстояние от точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru до плоскости Нормальное уравнение плоскости - student2.ru определяется формулой:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Пример.Найти нормальное уравнение плоскости, проходящей через точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

∆ Воспользуемся формулой для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданные три точки Нормальное уравнение плоскости - student2.ru , Нормальное уравнение плоскости - student2.ru и Нормальное уравнение плоскости - student2.ru :

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

В результате получим:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Полученное уравнение является общим уравнением плоскости. Приведем его к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Умножим обе части общего уравнения плоскости на найденный нормирующий множитель:

Нормальное уравнение плоскости - student2.ru .

Это и есть нормальное уравнение данной плоскости. ▲

Наши рекомендации