Раздел III. Теория вероятностей.
3.1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки.
3.1.1. В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?
3.1.2. Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для ее заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?
3.1.3. Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке всего 1000 наименований книг?
3.1.4. В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причем берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?
3.1.5. Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?
3.1.6. Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок?
3.1.7. На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?
3.1.8. Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых?
3.1.9. Имеется колода в 36 карт. Сколькими различными способами можно выбрать из нее:
а) три карты;
б) три карты, одна из которых – пиковая дама;
в) три туза;
г) три карты крестовой масти;
д) три красные карты?
3.1.10. На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9. Из них выбирают 3 карточки и выкладывают друг за другом. Сколько различных трехзначных чисел можно получить таким образом? Сколько различных трехзначных чисел можно получить, если имеется 10 карточек с цифрами от 0 до 9?
3.1.11. В забеге участвуют 12 спортсменов. Для выигрыша в спортивной лотерее надо правильно указать имена спортсменов, занявших первое, второе и третье места соответственно. Сколько существует способов указать имена победителей? Сколько среди этих способов таких, в которых спортсмен Петров указан первым?
3.1.12. В первом ряду театральной ложи четыре места. Сколькими способами можно рассадить зрителей в первом ряду, если в ложу вошли восемь человек? Ответьте на тот же вопрос при условии, что первое место уже было занято до прихода этих восьмерых.
3.1.13. У студента имеется 7 учебников по разным предметам. Сколькими способами он может расставить 5 учебников на полке? Сколько среди этих способов таких, в которых:
а) первым стоит учебник по теории вероятностей;
б) первым стоит учебник по теории вероятностей, а последним – по английскому языку?
3.1.14. На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трех флажков, вывешенных в определенном порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?
3.1.15. В архиве 100 дел. Сколько существует способов:
а) расставить 10 дал на полке;
б) выдать 10 дел по запросу?
3.1.16. Сколько различных очередей можно составить из 6 человек, пришедших одновременно в кассу для получения зарплаты? Сколько среди этих очередей таких, в которых первым будет гражданин Иванов?
3.1.17. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1. 2, 3, 4, 5, записанных на пяти карточках? Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) начинаются с цифры 5;
б) являются четными?
3.1.18. Всего для первокурсников читается 5 различных курсов лекций. На 2 сентября планируется по расписанию 3 лекции по разным предметам. Сколькими способами можно составить расписание на 2 сентября? Сколько среди них способов, в которых:
а) на первой паре читаются лекции по высшей математике;
б) 2-го сентября нет лекций по высшей математике?
3.1.19. Среди 20 человек, приглашенных на праздничный вечер, разыгрывается 5 различных призов лотереи. Человек, выигравший приз, в дальнейшем розыгрыше не участвует. Сколькими различными способами могут распределиться призы между участниками лотереи (предусматривается, что каждый приз кем-то выигрывается)? Сколько среди этих способов таких, при которых:
а) призы получили 5 человек, пришедших первыми;
б) Иванов получил приз, а Сидоров не получил?
3.1.20. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из данных пяти языков на любой другой из этих пяти языков?
3.1.21. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых нет нулей и единиц?
3.2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события.
В задачах 3.2.1 – 3.2.4 построить множество элементарных исходов 
по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям. В задачах 3.2.1 – 3.2.3 найти число элементов всех рассматриваемых множеств.
3.2.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, выпавших в первый и второй раз. События: А1 – оба раза выпало число 6; А2 – число 6 не выпало ни разу; А3 - число 6 выпало ровно один раз; А4 – оба раза выпало число очков, кратное трем; А5 – первый раз выпало четное число, а второй раз – нечетное; А6 – оба раза выпало одно и то же число; А7 - сумма выпавших чисел не больше 4.
3.2.2. Подбрасываются три монеты. Наблюдаемый результат – выпадение орла (О) или решки (Р) на первой, второй и третьей монетах. События: А1 – решка выпала на одной монете; А2 – решка не выпала ни на одной монете; А3 – решка выпала на первой монете; А4 – орел выпал хотя бы на двух монетах.
3.2.3. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События: А1 – первый ящик пустой; А2 – в каждый ящик попало по одному шару; А3 – все шары попали в один ящик.
3.2.4. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: 
- 1 
. Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События: А1 – абсцисса точки попадания не меньше ординаты; А2 – произведение координат точки неотрицательно; А3 – абсцисса точки по модулю не больше единицы.
3.2.5. Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран».
3.2.6. В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.
3.2.7. Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.
3.2.8. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А1 - выпало число 5; А2 – выпало число, кратное трем; А3 – выпало число, меньшее 5.
3.2.9. Найти вероятность событий из задачи3.2.1, а также в условиях задачи 3.2.1 найти вероятности следующих событий: А8 – оба раза выпало число, меньшее 5; А9 – число 6 выпало хотя бы один раз.
3.2.10. Найти вероятность событий: а) из задачи 3.2.2; б) из задачи3.2.3.
3.2.11. В урну помещают 4 белых и 6 черных шаров и хорошо их перемешивают.
а) Какова вероятность того, что извлеченный из урны шар - черный?
б) Из урны извлекают два шара. Какова вероятность того, что: 1) оба они – черные; 2) хотя бы один из шаров – черный; 3) извлеченные шары – разных цветов?
3.2.12. Из коробки, в которой находятся 6 карандашей и 7 ручек, вынимают два предмета. Найти вероятности следующих событий: А1 – оба вынутых предмета – ручки; А2 – вынута хотя бы одна ручка; А3 – вынуты ручка и карандаш.
3.2.13. В колоде 36 карт. Карты тщательно перемешивают и затем из колоды выбирают наугад 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А1 – выбраны 4 туза; А2 – среди выбранных карт нет ни одного туза; А3 – среди выбранных карт есть бубновый валет; А4 – среди выбранных карт есть хотя бы один валет; А5 – среди выбранных карт есть хотя бы одна карта бубновой масти; А6 – выбраны карты крестовой масти; А7 – выбраны карты одной масти; А8 – выбраны две черные и две красные карты; А9 – среди выбранных карт – две дамы; А10 – среди выбранных карт есть ровно один валет.
3.2.14. Из 14 студентов, среди которых 4 первокурсника, 3 второкурсника, а остальные – старшекурсники, случайным образом выбирают 5 человек в состав студенческого профкома. Найти вероятность того, что среди выбранных пяти человек:
а) будут одни старшекурсники;
б) не будет второкурсников;
в) будет хотя бы один первокурсник;
г) будет один первокурсник и четыре старшекурсника;
д) будет ровно один первокурсник;
е) будет не менее четырех старшекурсников.
3.2.15. Продано 120 билетов лотереи, из них 10 – выигрышные. Некто купил 2 билета. Найти вероятность того, что хотя бы один из его билетов окажется выигрышным.
3.2.16.Студент знает ответы на 10 вопросов из 20. Ему задают три вопроса, выбранные случайно из списка. Найти вероятность того, что он: а) ответит не на все вопросы; б) не ответит на все вопросы; в) ответит на один вопрос.
3.2.17. В группе из 12 студентов и 8 студенток случайным образом выбирают делегацию на конференцию. Найти вероятность того, что она будет иметь одинаковое представительство студентов и студенток, если делегация состоит: а) из двух человек; б) из четырех человек.
3.2.18.Среди 100 изделий 20 бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий будет три бракованных.
3.2.19. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Из них выбирают случайным образом три карточки и выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится: а) число 123; б) число, начинающееся с 2; в) число, не содержащее цифры 3; г) число, состоящее только из нечетных цифр; д) четное число.
3.2.20. Пять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 5, тщательно перемешивают и затем выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится число: а) третья цифра которого – 4; б) которое начинается с 23; в) нечетное.
3.2.21. Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «книга», затем буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются одна за другой в некотором порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «книга».
3.2.22. Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «плита». Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и из них выбираются 4 буквы, которые выкладываются в порядке поступления. Найти вероятность того, что получится слово «пила».
3.2.23. Известно, что код замка сейфа представляет собой последовательность пяти различных букв латинского алфавита (всего букв 26). Какова вероятность того, что код будет угадан с первого раза?
3.2.24. В первом ряду из десяти мест случайным образом рассаживаются 10 человек из числа двадцати пришедших в кинозал. Среди этих двадцати – 10 студентов и 10 студенток. Найти вероятность того, что в первом ряду: а) будут сидеть одни студентки; б) будет сидеть хотя бы одна студентка; в) на первых пяти местах будут обязательно сидеть студентки; г) на первых пяти местах будут сидеть студентки, а на последних пяти местах – студенты; д) студенту Петрову досталось место с четным номером.
3.2.25. Экзамен по высшей математике сдают 15 человек, каждый из которых получил один из имеющихся 30 билетов. Предполагая, что билеты распределяются случайным образом, найти вероятности следующих событий:
А1 – студенты получили билеты с №1 по №15;
А2 – первые пять студентов по списку получили билеты №№1 – 5;
А3 – первые пять студентов по списку получили билеты №№1 – 5, а остальные десять – какие-то из билетов №№16 – 30;
А4 – первые пять студентов по списку получили билеты с номерами не больше 10, следующие 5 студентов – с номерами от 11 до 20, а последние 5 студентов получили билеты с номерами больше 20.
3.2.26. Трое джентльменов оставили в прихожей свои внешне совершенно одинаковые шляпы. Слуги случайно поменяли их местами. Какова вероятность того, что каждый из гостей уйдет со своим головным убором?
3.2.27. Среди 12 книг две одинаковые. Найти вероятность того, что при случайной расстановке на полке всех книг одинаковые окажутся рядом.
3.2.28. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A – на обеих костях одинаковое число очков; B – число очков на первой кости больше, чем на второй; C – сумма очков четная; D – сумма очков больше двух.
3.2.29. За семь дней недели независимо друг от друга происходит семь неприятностей. Найти вероятность следующего события A: все неприятности произошли в разные дни.
3.2.30. В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Найти вероятности следующих событий: A – все вышли на разных этажах; B – хотя бы два сошли на одном этаже.
3.2.31. Каждая из пяти дам может выбрать в качестве партнеров по танцу одного из пяти кавалеров. Выбор каждой дамой любого кавалера равновозможен. Найти вероятность следующего события A: все дамы выбрали разных кавалеров.
3.2.32. Каждая из трех компаний может выбрать одного из пяти дилеров. Выбор каждой компанией любого дилера равновозможен. Найти вероятность следующего события A: все компании выбрали разных дилеров.
3.2.33.Из 10 изделий, среди которых 3 импортных, "наудачу" выбрали три изделия. Найти вероятности следующих событий: A – среди выбранных изделий ровно два импортных; B – все выбранные изделия являются импортными; C – среди выбранных изделий есть хотя бы одно импортное.
3.2.34. Среди 100 шаров, находящихся в ящике, имеется 5 черных. Из ящика вынули наугад 50 шаров. Найти вероятность следующего события A: среди выбраных шаров оказалось не более одного черного.
3.2.35.В группе 20 студентов, среди которых 5 отличников. Произвольно выбрали 10 студентов. Найти вероятность следующего события A: среди выбранных студентов ровно 2 отличника.
3.2.36. Две радиостанции в течение часа должны независимо друг от друга передать десятиминутное сообщение. Найти вероятность следующего события A: сообщения не перекроются по времени.