Остовные деревья и их приложения

В практических задачах часто требуется построить остовное дерево, удовлетворяющее различным свойствам. В этом разделе приведены некоторые подобные задачи.

МОД ограниченной степени – это минимальное остовное дерево, в котором каждая вершина связана с не более чем другими вершинами, где – заданное целое число. Если , то это задача построения минимальной гамильтоновой цепи, откуда следует, что задача построения МОД ограниченной степени NP-трудна в общем случае. Если вершины графа – это точки на плоскости, а веса ребер равны евклидову расстоянию между ними, и требуется построить МОД степени , то при задача полиномиально разрешима [6].

В некоторых приложениях требуется построить такое остовное дерево, в котором максимальный вес ребра минимален. Очевидно, в этом случае МОД является одним из искомых деревьев.

При описании алгоритмов Прима и Краскала мы не налагали ограничений на знак весов ребер, поэтому задача построения остовного дерева максимального веса может быть решена алгоритмами Прима или Краскала после умножения весов ребер на –1 и построения МОД в графе с новыми весами.

Рассмотрим подробнее (в качестве примера) задачу построения сети связи с одним источником минимальной стоимости с ограничением на число узлов коммутации в цепях, связывающих пункты с источником. Эта задача в математической постановке является задачей построения МОД ограниченного радиуса на взвешенном графе с выделенной вершиной, которая может быть поставлена следующим образом.

Задан полный неориентированный взвешенный граф , с неотрицательными весами ребер . Обозначим – множество остовных деревьев графа , а – цепь, связывающая вершину с корнем дерева 0 – источником сигнала в дереве . Требуется построить дерево являющееся решением задачи:

	(2.1)
	(2.2)

где R £ n – заданное положительное целое число, а через обозначено количество ребер в цепи . Число является радиусом дерева .

Задача (2.1) – (2.2) при является NP-трудной, что естественно вытекает из NP-трудности задачи построения МОД ограниченного диаметра [7]. В работе [8] показана NP-трудность рассматриваемой задачи на максимум, которая тесно связана с задачей (2.1)–(2.2). Действительно, если , то задача с ограничением (2.2), где , эквивалентна задаче (2.1) – (2.2).

В работе [8] для задачи на максимум предложена серия полиномиальных алгоритмов построения решения с гарантированной оценкой относительной погрешности, в наихудшем случае равной 1/2. Если же для весов ребер выполняется неравенство треугольника, то оценка относительной погрешности улучшается до величины .

Для задачи (2.1) – (2.2) полученные априорные оценки точности зависят от параметров задачи и не являются гарантированными [8].

Приведем еще один пример практической задачи выбора дальности передачи элементов радиосети, в которой строится остовное дерево. Эта задача известна в литературе как Min-Power Symmetric Connectivity Problem и заключается в следующем.

Задан простой неориентированный взвешенный граф с множеством вершин , и множеством ребер . Пусть – вес ребра . Требуется найти остовное дерево графа , являющееся решением задачи:

(2.3)

где – множество вершин, смежных с вершиной в дереве T. Любое допустимое решение задачи (2.3) – остовное дерево – назовем также коммуникационным деревом.

Задача (2.3) NP-трудна в сильном смысле уже в случае, когда вершины – это точки в , а вес ребра равен евклидову расстоянию между соответствующими точками. В общем случае NP-трудность естественно следует из сводимости задачи о минимальном покрытии (МП) к задаче (2.3).

Для любого остовного дерева справедливы очевидные неравенства откуда следует, что МОД является -приближенным решением задачи (2.3). Т.е.

где – значение функционала на МОД, а – оптимальное значение целевой функции. Справедлива

Теорема 2.1. Пусть веса ребер, вошедших в МОД, принадлежат отрезку Тогда и при

Теорема 2.2. Если задача построения k-приближенного решения задачи МП в графе, степени вершин которого не превосходят ,
NP-трудна, то задача построения -приближенного решения задачи (1.3) также NP-трудна.

Следствие 2.1. Известно, что задача построения -приближенного решения для проблемы МП при NP-трудна. Тогда из теоремы 1.2, в частности, следует NP-трудность построения -приближенного решения задачи (1.3).

Примеры и упражнения

Пример 2.1. Построить МОД в графе, изображенном на рис. 2.1a (рядом с ребрами указаны их веса), с помощью алгоритма Прима.

Решение. Положим Тогда метки вершин , , остальные . Вершины 2 и 3, ближайшие к T, добавим, например, вершину 2, получив , и пересчитаем метки для вершин 3, …, 7. Получим , , , Теперь ближайшая к T вершина 4, добавим ее: . Продолжая процесс, добавим последовательно вершины 5, 3, 7 и 6 вместе с ребрами (4 ,5), (1, 3), (5, 7) и (3, 6). МОД изображено на рис. 1.1b, и его вес равен 14.

Рисунок-2.1.a) граф; b) МОД

Пример 2.2. Найти количество остовных деревьев графа, изображенного на рис. 2.1a, степени которых не превосходят 2.

Решение. Перенумеруем ребра. Очевидно, ребро 1 = (5, 7) войдет во все остовные деревья. Можно построить двоичное дерево решений, начиная с ребра 1, включая (если это не приводит к циклу или превышению допустимой степени вершин) или не включая очередное ребро. В результате получим три гамильтоновых пути. Один из них изображен на рис. 2.1b, два других – на рис. 2.2.

Рисунок-2.2. Два остовных дерева степени 2

Упражнение 2.1. Доказать, что алгоритмы Прима, Краскала и Борувки строят МОД.

Упражнение 2.2. Показать, что в дереве, имеющем две и более вершины, существует как минимум две вершины степени 1.

Упражнение 2.3. Найти такое остовное дерево графа, показанного на рис. 2.1a, в котором максимальный вес ребра минимален.

Упражнение 2.4. Найти МОД графа, показанного на рис. 2.1a, используя алгоритмы Краскала и Борувки.

Упражнение 2.5. Найти все МОД графа, показанного на рис. 2.3.

Рисунок-2.3. Взвешенный граф
(рядом с каждым ребром указан его вес)