Противоречит ли точка зрения В тезису Черча—Тьюринга?

Вспомним, что точка зрения предполагает, что обладаю­щий сознанием мозг функционирует таким образом, что его ак­тивность не поддается никакому численному моделированию — ни нисходящего, ни восходящего, ни какого-либо другого типа. Те, кто сомневается в истинности могут отчасти оправдать свои сомнения тем, что формулировка якобы противоречит так называемому тезису Черча (или тезису Черча—Тьюринга) — вернее, тому условию, которое сейчас общепринято обозначать упомянутым термином. В чем же суть тезиса Черча? В перво­начальной форме, предложенной американским логиком Алонзо Черчем в 1936 году, этот тезис гласил, что любой процесс, который можно корректно назвать «чисто механическим» мате­матическим процессом, — т.е. любой алгоритмический про­цесс — может быть реализован в рамках конкретной схемы, открытой самим Черчем и названной им лямбда-исчислением ( -исчислением) (весьма, надо отметить, изящная и концеп­туально сдержанная схема; краткое ознакомительное изложе­ние см. в НРК, с. 66—70). Вскоре после этого, в 1936—1937 годах, британский математик Алан Тьюринг нашел свой соб­ственный, гораздо более убедительный способ описания алго­ритмических процессов, основанный на функционировании те­оретических «вычислительных машин», которые мы сейчас на­зываем машинами Тьюринга. Вслед за Тьюрингом в некоторой степени аналогичную схему разработал американский ученый-логик польского происхождения Эмиль Пост( 1936). Далее Черч и Тьюринг независимо друг от друга показали, что исчисление Черча эквивалентно концепции машины Тьюринга (а следова­тельно, и схемы Поста). Более того, именно этим концепциям Тьюринга в значительной степени обязаны своим появлением на светсовременные универсальные компьютеры. Как уже упоми­налось, машина Тьюринга по принципу функционирования фак­тически полностью эквивалентна современному компьютеру, — несколько, впрочем, идеализированному, т. е. обладающему воз­можностью использовать неограниченный объем памяти. Таким образом получается, что тезис Черча в его первоначальной фор­мулировке всего лишь утверждает, что математическими алго­ритмами следует считать как раз те процессы, которые способен выполнить идеализированный современный компьютер — а ес­ли учесть общепринятое ныне определение термина «алгоритм», то такое утверждение и вовсе становится тавтологией. Так что принятие этой формулировки тезиса Черча не влечет за собой никакого противоречия точке зрения

Вполне вероятно, однако, что сам Тьюринг имел в виду нечто большее: вычислительные возможности любого физиче­ского устройства должны (в идеале) быть эквивалентны дей­ствию машины Тьюринга. Такое утверждение существенно вы­ходит за рамки того, что изначально подразумевал Черч. При разработке концепции «машины Тьюринга» сам Тьюринг осно­вывался на своих представлениях о том, чего, в принципе, мог бы достичь вычислитель-человек (см. [197]). Судя по всему, он полагал, что физическое действие в общем (а под эту категорию подпадает и активность мозга человека) всегда можно свести к какой-либо разновидности действия машины Тьюринга. Быть может, это утверждение (физическое) следует называть «тези­сом Тьюринга» — для того чтобы отличать его от оригинального «тезиса Черча», утверждения чисто математического, которому никоим образом не противоречит Именно такой терминологии я намерен придерживаться далее в этой книге. Соответственно, точка зрения противоречит в этом случае тезису Тьюринга, а вовсе не тезису Черча.

Хаос

В последние годы ученые проявляют огромный интерес к ма­тематическому феномену, известному под названием «хаос», — феномену, в рамках которого физические системы оказываются способными на якобы аномальное и непредсказуемое поведение (рис. 1.1). Образует ли феномен хаоса необходимую невычисли­мую физическую основу для такой точки зрения, как ?

Хаотические системы — это динамически развивающиеся физические системы, математические модели таких физических систем или же просто математические модели, не описываю­щие никакой реальной физической системы и интересные сами по себе; характерно то, что будущее поведение такой системы чрезвычайно сильно зависит от ее начального состояния, причем определяющими могут оказаться самые незначительные факто­ры. Хотя обыкновенные хаотические системы являются полно­стью детерминированными и вычислительными, на деле может показаться, что в их поведении ничего детерминированного нет и никогда не было. Это происходит потому, что для сколько-нибудь надежного детерминистического предсказания будущего поведения системы необходимо знать ее начальное состояние с такой точностью, которая может оказаться просто недостижимой не только для тех измерительных средств, которыми мы распола­гаем, но также и для тех, которые мы только можем вообразить.

В этой связи чаще всего вспоминают о подробных долго­срочных прогнозах погоды. Законы, управляющие движением молекул воздуха, а также другими физическими величинами, ко­торые могут оказаться релевантными для определения будущей погоды, хорошо известны. Однако реальные синоптические ситу­ации, которые могут возникнуть всего через несколько дней после предсказания, настолько тонко зависят от начальных условий, что нет никакой возможности измерить эти условия достаточно точно для того, чтобы дать хоть сколько-нибудь надежный про­гноз. Безусловно, количество параметров, которые необходимо ввести в подобное вычисление, огромно; поэтому, быть может, и нет ничего удивительного в том, что в данном случае предсказание может оказаться на практике просто невозможным.

С другой стороны, подобное — так называемое хаотиче­ское — поведение может иметь место и в случае очень простых систем; примером тому служат системы, состоящие из малого количества частиц. Вообразите, что от вас требуется загнать в лузу бильярдный шар Е, расположенный пятым в некоторой из­вилистой и очень растянутой цепочке шаров ; вам нужно ударить кием по шару А так, чтобы тот ударил шар В, который, в свою очередь, ударил бы шар С, который ударил бы шар D, который ударил бы шар Е, который, наконец, по­пал бы в лузу. В общем случае необходимая для этого точность значительно превышает способности любого профессионального игрока в бильярд. Если бы цепочка состояла из 20 шаров, то тогда — даже допустив, что эти шары представляют собой иде­ально упругие точные сферы — задача загнать в лузу последний шар оказалась бы не под силу и самому точному механизму из всех доступных современной технологии. Поведение последних шаров цепочки было бы, в сущности, случайным, несмотря на то, что управляющие поведением шаров ньютоновы законы матема­тически абсолютно детерминированы и, в принципе, эффективно вычислимы. Никакое вычисление не смогло бы предсказать ре­альное поведение последних шаров цепочки просто потому, что нет никакой возможности добиться достаточно точного определения реального начального положения и скорости движения кия или положений первых шаров цепочки. Более того, даже самые незначительные внешние воздействия, вроде дыхания человека в соседнем городе, могут нарушить эту точность до такой степени, которая полностью обесценит результаты любого подобного вы­числения.

Здесь необходимо пояснить, что, несмотря на столь серьез­ные трудности, встающие перед детерминистическим предска­занием, все нормальные системы, к которым применим термин «хаотические», следует относить к категории систем, которые я называю «вычислительными». Почему? Как и в других ситуаци­ях, которые мы рассмотрим позднее, для того, чтобы определить, является ли та или иная процедура вычислительной, достаточно задать себе вопрос: выполнима ли она на обычном универсальном компьютере? Очевидно, что в данном случае ответ может быть только утвердительным, по той простой причине, что математиче­ски описываемые хаотические системы и в самом деле изучаются, как правило, с помощью компьютера!

Разумеется, если мы попытаемся создать компьютерную мо­дель для подробного предсказания погоды в Европе в течение недели или же для описания последовательных столкновений расположенных вдоль некоторой кривой на достаточно большом расстоянии друг от друга двадцати бильярдных шаров после того, как по первому из них резко ударили кием, то можно почти с пол­ной определенностью утверждать, что результаты, полученные с помощью нашей модели, и близко не будут похожи на то, что произойдет в действительности. Такова природа хаотических систем. На практике бесполезно пытаться с помощью вычисле­ний предсказать реальное конечное состояние системы. Тем не менее, моделирование типичного конечного состояния вполне возможно. Предсказанная погода может и не совпасть с реаль­ной, но она абсолютно правдоподобна как погода вообще! Точно так же и предсказанный результат столкновений бильярдных ша­ров абсолютно приемлем как возможный исход, даже несмотря на то, что на самом деле шары могут повести себя совершенно не так, как предсказано вычислением, — однако и при этом их поведение остается в равной степени приемлемым. Упомянем еще об одном обстоятельстве, которое подчеркивает идеально вы­числительную природу таких операций: если запустить процесс компьютерного моделирования вторично, задав те же входные

данные, что и ранее, то результат моделирования будет точно таким же, как и в первый раз! (Здесь предполагается, что сам компьютер не ошибается; впрочем, надо признать, что современ­ные компьютеры и в самом деле крайне редко совершают при вычислениях реальные ошибки.)

Возвращаясь к искусственному интеллекту, отметим, что ни­кто пока и не пытается воспроизвести поведение какого-то кон­кретного индивидуума; нас бы прекрасно устроила модель инди­видуума вообще! В этом контексте моя позиция вовсе не пред­ставляется такой уж неразумной: хаотические системы следует безусловно относить к категории систем, которые мы называем «вычислительными». Компьютерная модель такой системы и в самом деле выглядела бы как абсолютно приемлемый «типичный случай», даже и не совпадая при этом ни с каким «реальным случаем». Если внешние проявления человеческого разума суть результаты некоей хаотической динамической эволюции (эволю­ции вычислительной в том смысле, о котором мы только что го­ворили), то это вполне согласуется с точками зрения , но никак не

Время от времени выдвигаются предположения, что, воз­можно, именно феномен хаоса — если, конечно, он действительно имеет место в деятельности мозга как физической сущности — позволяет человеческому мозгу симулировать поведение, якобы отличное от вычислительно-детерминированного функциониро­вания машины Тьюринга, хотя, как подчеркивалось выше, фор­мально его активность является целиком и полностью вычисли­тельной. К этому вопросу мне еще придется вернуться несколько позднее . Пока же достаточно уяснить лишь то, что хаотические системы относятся к категории систем, называемых мною «вычислительными» или «алгоритмическими». Вопрос же о том, можно ли смоделировать какую-нибудь из таких систем на практике, не входит в круг принципиальных вопросов, которые мы здесь рассматриваем.

Аналоговые вычисления

До сих пор я рассматривал «вычисление» только в том смысле, в котором этот термин применим к современным циф­ровым компьютерам или, точнее, к их теоретическим предше­ственникам — машинам Тьюринга. Существуют и другие раз­новидности вычислительных устройств, особенно широко распространенные в не столь отдаленном прошлом; вычислительные операции здесь осуществляются не посредством переходов меж­ду дискретными состояниями «вкл./выкл.», знакомыми нам по цифровым вычислениям, а с помощью непрерывного изменения того или иного физического параметра. Самым известным из та­ких устройств является логарифмическая линейка, изменяемым физическим параметром которой является линейное расстояние (между фиксированными точками на линейке). Это расстояние служит для представления логарифмов чисел, которые нужно пе­ремножить или разделить. Существует много различных разно­видностей аналоговых вычислительных устройств, в которых мо­гут применяться и другие типы физических параметров — такие, например, как время, масса или электрический потенциал.

В случае аналоговых систем необходимо учитывать одно формальное обстоятельство: стандартные понятия вычисления и вычислимости применимы, строго говоря, только к дискретным системам (над которыми, собственно, и выполняются «цифро­вые» действия), но не к непрерывным, таким, например, как расстояния или электрические потенциалы, с которыми имеет дело традиционная классическая физика. Иными словами, для того чтобы применить обычные вычислительные понятия к систе­ме, описание которой требует не дискретных (или «цифровых»), а непрерывных параметров, мы естественным образом должны прибегнуть к аппроксимации. Действительно, при компьютерном моделировании физических систем вообще стандартной проце­дурой является аппроксимация всех рассматриваемых непре­рывных параметров в дискретной форме. Подобная процедура, однако, неминуемо вносит некоторую погрешность, величина ко­торой определяется заданной степенью точности аппроксимации; при этом вполне возможно, что для той или иной интересую­щей нас физической системы заданной точности может оказать­ся недостаточно. В итоге дискретное компьютерное моделиро­вание очень просто может привести нас к ошибочным выводам относительно поведения моделируемой непрерывной физической системы.

В принципе, ничто не мешает повысить точность до уровня, адекватного для моделирования рассматриваемой непрерывной системы. Однако на практике, особенно в случае хаотических систем, требуемые для этого время вычислений и объем памяти могут оказаться непомерно большими. Кроме того, можем ли мы, строго говоря, быть абсолютно уверенными в том, что выбран­ная нами степень точности является действительно достаточ­ной. Необходим какой-то критерий, который позволил бы нам определить, что нужный уровень точности достигнут, дальней­шего ее повышения не требуется и качественному поведению, вычисленному с такой точностью, в самом деле можно доверять. Все это поднимает ряд достаточно щекотливых математических вопросов, рассматривать которые подробно на этих страницах мне представляется не совсем уместным.

Существуют, однако, и другие подходы к проблемам вычис­лений в случае непрерывных систем; например, такие, в кото­рых непрерывные системы рассматриваются как самостоятель­ные математические структуры со своим собственным понятием «вычислимости» — понятием, обобщающим идею вычислимо­сти по Тьюрингу с дискретных величин на непрерывные. При таком подходе исчезает необходимость в аппроксимации непре­рывной системы дискретными параметрами с целью применить к ней традиционную концепцию вычислимости по Тьюрингу. Такие идеи вызывают определенный интерес с математической точки зрения; к сожалению, им, как нам представляется, не достает пока той неотразимой естественности и уникальности, которые присущи стандартному понятию вычислимости по Тьюрингу для дискретных систем. Более того, вследствие определенной непо­следовательности данного подхода, формально «невычислимы­ми» оказываются и некоторые простые системы, в применении к которым подобная терминология выглядит как-то не совсем уместно (даже такие, например, как известное всем из физики простое «волновое уравнение»; см. [313] и НРК, с. 187-188). С другой стороны, следует упомянуть и об одной сравнительно недавней работе ([327]), в которой показано, что теоретические аналоговые компьютеры, объединяемые в некоторый достаточно обширный класс, не могут выйти за рамки обычной вычисли­мости по Тьюрингу. Я надеюсь, что дальнейшие исследования должным образом осветят эти безусловно интересные и важные темы. Пока же у меня нет оснований полагать, что работы в этом направлении в целом уже достигли той стадии завершенности, чтобы их результаты можно было применить к рассматриваемым здесь проблемам.

В этой книге меня в особенности занимает вопрос о вычисли­тельной природе умственной деятельности, где термин «вычислительный» следует рассматривать в стандартном смысле вычис­лимости по Тьюрингу. В самом деле, компьютеры, которыми мы сегодня повседневно пользуемся, являются цифровыми, и имен­но это их свойство оказывается существенным для современных разработок в области ИИ. Наверное, логичным будет предпо­ложить, что в будущем может появиться «компьютер» какого-то иного типа, решающую роль в функционировании которого будут играть (пусть даже и не выходя при этом за общепринятые теоретические рамки современной физики) непрерывные физиче­ские параметры, что позволит такому компьютеру демонстриро­вать поведение, существенно отличное от поведения цифрового компьютера.

Как бы то ни было, все эти вопросы важны, главным об­разом, для проведения границы между «сильной» и «слабой» версиями позиции . Согласно слабой версии , поведение об­ладающего сознанием человеческого мозга обусловлено некото­рой физической активностью, которую невозможно вычислить в стандартном смысле дискретной вычислимости по Тьюрингу, но которую можно полностью объяснить в рамках современных фи­зических теорий. Если так, то эта активность, по всей видимости, должна зависеть от каких-то непрерывных физических парамет­ров таким образом, чтобы ее невозможно было адекватно вос­произвести с помощью стандартных цифровых процедур. В со­ответствии же с сильной версией , невычислимость сознатель­ной деятельности мозга может быть исчерпывающе объяснена в рамках некоторой невычислительной физической теории (пока еще не открытой), следствия из которой, собственно, и обуслов­ливают упомянутую деятельность. Хотя второй вариант может показаться несколько надуманным, альтернатива (для сторон­ников ) и в самом деле состоит в отыскании для какого-либо непрерывного процесса в рамках известных физических законов такой роли, которую невозможно было бы адекватно воспроизве­сти посредством каких угодно вычислений. На данный же момент, несомненно, следует ожидать, что для любой достоверной анало­говой системы любого типа из тех, что получили более или менее серьезное рассмотрение, обязательно окажется возможным (по крайней мере, в принципе) создать эффективную цифровую мо­дель.

Даже если не принимать во внимание всевозможные теоре­тические проблемы общего плана, на сегодняшний день наибольшее превосходство перед аналоговыми вычислительными систе­мами демонстрируют именно цифровые компьютеры. Цифровые вычисления имеют гораздо более высокую точность благодаря, в основном, тому, что при хранении данных в цифровом виде по­вышение точности обеспечивается простым увеличением разряд­ности чисел, что легко достижимо с помощью весьма скромного увеличения (логарифмического) мощности компьютера; в ана­логовых же машинах (по крайней мере, в полностью анало­говых, в конструкцию которых не заложено никаких цифровых концепций) увеличения точности можно добиться лишь посред­ством весьма и весьма значительного увеличения (линейного) со­ответствующих параметров. Возможно, когда-нибудь в будущем возникнут новые идеи, которые пойдут на пользу аналоговым вы­числителям, однако в рамках современной технологии большая часть существенных практических преимуществ принадлежит, по всей видимости, цифровому вычислению.

Невычислительные процессы

Из всех типов вполне определенных процессов, что приходят в голову, большая часть относится, соответственно, к категории феноменов, называемых мною «вычислительными» (имеются в виду, конечно же, «цифровые вычисления»). Возможно, читатель уже начал волноваться, что сторонники позиции так и оста­нутся у нас не при деле. Причем я еще ни словом не упоминал о строго случайных процессах, которые могут быть обуслов­лены, скажем, какими-либо исходными данными, получаемыми от квантовой системы. (О квантовой механике мы немного по­дробнее поговорим во второй части, главы 5 и 6.) Впрочем, для самой системы практически безразлично, подается на ее вход подлинно случайная последовательность данных или же всего лишь псевдослучайная, которую можно целиком и полностью сгенерировать вычислительным путем (см. §3.11). Действитель­но, несмотря на то, что между «случайным» и «псевдослучай­ным», строго говоря, существуют некоторые формальные отли­чия, они, на первый взгляд, не имеют непосредственного отно­шения к проблемам ИИ. Далее, в §3.11, §3.18 и последующих, я приведу некоторые серьезные доводы в пользу того, что «чистая случайность» и в самом деле абсолютно бесполезна для наших целей; если уж возникает такая необходимость, то лучше все же придерживаться псевдослучайности хаотического поведения, а все нормальные типы хаотического поведения, как уже подчер­кивалось выше, относятся к категории «вычислительных».

А что нам известно о роли окружения? По мере развития каждого индивидуума у него или у нее формируется уникаль­ное окружение, отличное от окружения любого другого человека. Возможно, именно это уникальное личное окружение и дает каж­дому из нас ту особенную последовательность входных данных, которая неподвластна вычислению? Хотя лично мне, например, сложно сообразить, на что именно в данном контексте может повлиять «уникальность» нашего окружения. Эти рассуждения напоминают разговор о хаосе, который мы вели выше (см. § 1.7). Для обучения управляемого компьютером робота достаточно од­ной лишь модели некоего правдоподобного окружения (хаоти­ческого), при том, разумеется, условии, что в этой модели не будет ничего заведомо невычислимого. Роботу нет нужды учиться тем или иным навыкам в каком-то конкретном реальном окружении; его, разумеется, вполне устроит типичное окружение, модели­рующее реальность вычислительными методами.

А может быть, численное моделирование пусть даже все­го лишь правдоподобного окружения невозможно в принципе. Быть может, в окружающем физическом мире есть-таки нечто такое, что на самом деле неподвластно численному моделиро­ванию. Возможно, некоторые сторонники уже воз­намерились приписать все не поддающиеся, на первый взгляд, вычислению проявления человеческого поведения невычислимо­сти внешнего окружения. Должен, однако, заметить, что намере­ние это несколько опрометчиво. Ибо, как только мы признаем, что физическое поведение допускает где-то что-то такое, что невозможно моделировать вычислительными методами, мы тем самым тут же лишаемся главного, по всей видимости, основания сомневаться в правдоподобии, в первую очередь, самой точки зрения . Если во внешнем окружении (т.е. вне мозга) имеют место процессы, не поддающиеся численному моделированию, то почему не могут оказаться таковыми и процессы, протекающие внутри мозга? В конце концов, внутренняя физическая органи­зация мозга человека, по всей видимости, гораздо более сложна, чем большая часть (и это еще слабо сказано) его окружения, за исключением, быть может, тех его участков, где это окружение само оказывается под сильным влиянием деятельности других

мозгов. Признание возможности внешней невычислимой физи­ческой активности лишает всякой силы главный аргумент про­тив . (См. также §3.9, §3.10.)

Следует сделать еще одно замечание относительно «не под­дающихся вычислению» процессов, возможность существования которых предполагает позиция . Под этим термином я имею в виду отнюдь не те процессы, которые всего-навсего невычис­лимы практически. Здесь, конечно же, уместно вспомнить и о том, что, хотя моделирование любого правдоподобного окру­жения, или же любое точное воспроизведение всех физических и химических процессов, протекающих в мозге, может быть, в принципе, вычислимым, на такое вычисление, скорее всего, по­надобится столько времени или такой объем памяти, что вряд ли удастся выполнить его на любом реально существующем или даже вообразимом в ближайшем будущем компьютере. Вероят­но, нереально даже написание соответствующей компьютерной программы, если учесть, какое огромное количество различных факторов придется принимать в расчет. Однако сколь бы суще­ственными ни были все эти соображения (а мы еще вернемся к ним в они не имеют никакого отношения к тому, что называю «невычислимостью» я (и чего требует ). Под «невычислимостью» я подразумеваю принципиальную невоз­можность вычисления в том смысле, который мы очень скоро об­судим. Вычисления, которые просто выходят за рамки существу­ющих или вообразимых компьютеров, или имеющихся в нашем распоряжении вычислительных методов, формально все равно остаются «вычислениями».

Читатель имеет полное право спросить: если ничего, что можно счесть «невычислимым», не обнаруживается ни в случай­ности, ни во влиянии окружения, ни в банальном несоответствии уровня сложности феномена нашим техническим возможностям, то что вообще я имею в виду, говоря «чего требует »? В общем случае, это некий вид математически точной активности, невы­числимость которой можно доказать. Насколько нам на данный момент известно, при описании физического поведения в подоб­ной математической активности необходимости не возникает. Тем не менее, логически она возможна. Более того, она представляет собой нечто большее, нежели просто логическую возможность. Согласно приводимой далее в книге аргументации, возможность активности подобного общего характера прямо подразумевается физическими законами, несмотря на то, что ни с чем подобным в известной физике мы еще не встречались. Некоторые примеры такой математической активности замечательно просты, поэтому представляется вполне уместным проиллюстрировать с их помо­щью то, о чем я здесь говорю.

Начать мне придется с описания нескольких примеров клас­сов хорошо структурированных математических задач, не имею­щих общего численного решения (ниже я поясню, в каком именно смысле). Начав с любого из таких классов задач, можно постро­ить «игрушечную модель» физической вселенной, активность ко­торой (хотя и будучи полностью детерминированной) фактически не поддается численному моделированию.

Первый пример такого класса задач знаменит более осталь­ных и известен под названием «десятая проблема Гильберта». Эта задача была предложена великим немецким математиком Давидом Гильбертом в 1900 году в составе этакого перечня нерешенных на тот момент математических проблем, которые по большей части определили дальнейшее развитие математики в начале (да и в конце) двадцатого века. Суть десятой проблемы Гильберта заключалась в отыскании вычислительной процеду­ры, на основании которой можно было бы определить, имеют ли уравнения, составляющие данную систему диофантовых урав­нений, хотя бы одно общее решение.

Диофантовыми называются полиномиальные уравнения с каким угодно количеством переменных, все коэффициенты и все решения которых должны быть целыми числами. (Целые числа — это числа, не имеющие дробной части, например: Первым диофантовы уравнения систематизировал и изучил греческий математик Диофант в тре­тьем веке нашей эры.) Ниже приводится пример системы дио­фантовых уравнений:

Решением первой системы является, в частности, следующее:

тогда как вторая система вообще не имеет решения (судя по пер­вому уравнению, число у должно быть четным, судя по второму уравнению, число z также должно быть четным, однако это про­тиворечит третьему уравнению, причем при любом w, поскольку значение разности — это всегда четное число, а число 3 нечетно). Задача, поставленная Гильбертом, заключалась в отыскании математической процедуры (или алгоритма), позво­ляющей определить, какие системы диофантовых уравнений име­ют решения (наш первый пример), а какие нет (второй пример). Вспомним (см. § 1.5), что алгоритм — это всего лишь вычисли­тельная процедура, действие некоторой машины Тьюринга. Таким образом, решением десятой проблемы Гильберта является некая вычислительная процедура, позволяющая определить, когда си­стема диофантовых уравнений имеет решение.

Десятая проблема Гильберта имеет очень важное истори­ческое значение, поскольку, сформулировав ее, Гильберт поднял вопрос, который ранее не поднимался. Каков точный математиче­ский смысл словосочетания «алгоритмическое решение для клас­са задач»? Если точно, то что это вообще такое — «алгоритм»? Именно этот вопрос привел в 1936 году Алана Тьюринга к его собственному определению понятия «алгоритм», основанному на изобретенных им машинах. Примерно в то же время другие ма­тематики (Черч, Клин, Гёдель, Пост и прочие; см. [134]) пред­ложили несколько иные процедуры. Как вскоре было показано, все эти процедуры оказались эквивалентными либо определению Тьюринга, либо определению Черча, хотя особый подход Тью­ринга приобрел все же наибольшее влияние. (Только Тьюрингу пришла в голову идея специфической и всеобъемлющей алгорит­мической машины, — названной универсальной машиной Тью­ринга, — которая способна самостоятельно выполнить абсолют­но любое алгоритмическое действие. Именно эта идея привела впоследствии к созданию концепции универсального компьюте­ра, который сегодня так хорошо нам знаком.) Тьюрингу удалось показать, что существуют определенные классы задач, которые не имеют алгоритмического решения (в частности, «пробле­ма остановки», о которой я расскажу ниже). Однако самой де­сятой проблеме Гильберта пришлось ждать своего решения до 1970 года, когда русский математик Юрий Матиясевич (предста­вив доказательства, ставшие логическим завершением некоторых соображений, выдвинутых ранее американскими математиками

Джулией Робинсон, Мартином Дэвисом и Хилари Патнэмом) показал невозможность создания компьютерной программы (или алгоритма), способной систематически определять, имеет ли ре­шение та или иная система диофантовых уравнений. (См. [71] и [88], глава 6, где приводится весьма занимательное изложе­ние этой истории.) Заметим, что в случае утвердительного ответа (т. е. когда система имеет-таки решение), этот факт, в принципе, можно констатировать с помощью особой компьютерной про­граммы, которая самым тривиальным образом проверяет один за другим все возможные наборы целых чисел. Сколько-нибудь систематической обработке не поддается именно случай отсут­ствия решения. Можно, конечно, создать различные совокуп­ности правил, которые корректно определяли бы, когда систе­ма не имеет решения (наподобие приведенного выше рассужде­ния с использованием четных и нечетных чисел, исключающего возможность решения второй системы), однако, как показывает теорема Матиясевича, список таких совокупностей никогда не будет полным.

Еще одним примером класса вполне структурированных ма­тематических задач, не имеющих алгоритмического решения, яв­ляется задача о замощении. Она формулируется следующим образом: дан набор многоугольников, требуется определить, по­крывают ли они плоскость; иными словами, возможно ли по­крыть всю евклидову плоскость только этими многоугольниками без зазоров и наложений? В 1966 году американский математик Роберт Бергер показал (причем эффективно), что эта задача вы­числительными средствами неразрешима. В основу его доводов легло обобщение одной из работ американского математика ки­тайского происхождения Хао Вана, опубликованной в 1961 году (см. [175]). Надо сказать, что в моей формулировке задача ока­зывается несколько более громоздкой, чем хотелось бы, так как многоугольные плитки описываются в общем случае с помощью вещественных чисел (чисел, выражаемых в виде бесконечных де­сятичных дробей), тогда как обычные алгоритмы способны опе­рировать только целыми числами. От этого неудобства можно избавиться, если в качестве рассматриваемых многоугольников выбрать плитки, состоящие из нескольких квадратов, примыкаю­щих один к другому сторонами. Такие плитки называются полиомино (см. [ 160); [ 135], глава 13; [221 ]). На рис. 1.2 показаны неко­торые плитки полиомино и примеры замощений ими плоскости.

(Другие примеры замощений плоскости наборами плиток см. в НРК, с. 133—137, рис. 4.6—4.12.) Любопытно, что вычислитель­ная неразрешимость задачи о замощении связана с существова­нием наборов полиомино, называемых апериодическими, такие наборы покрывают плоскость исключительно апериодически (т. е. так, что никакой участок законченного узора нигде не по­вторяется, независимо от площади покрытой плиткой плоскости). На рис. 1.3 представлен апериодический набор из трех полиоми­но (полученный из набора, обнаруженного Робертом Амманом в 1977 году; см. [175], рис. 10.4.11-10.4.13 на с. 555-556).

Математические доказательства неразрешимости с помо­щью вычислительных методов десятой проблемы Гильберта и за­дачи о замощении весьма сложны, и я, разумеется, не стану и пытаться приводить их здесь). Центральное место в каждом из этих доказательств отводится, в сущности, тому, чтобы показать, каким образом можно запрограммировать машину Тьюринга на решение задачи о диофантовых уравнениях или задачи о замоще­нии. В результате все сводится к вопросу, который Тьюринг рас­сматривал еще в своем первоначальном исследовании: к вычис­лительной неразрешимости проблемы остановки — проблемы определения ситуаций, в которых работа машины Тьюринга не может завершиться. В §2.3 мы приведем несколько примеров явных вычислительных процедур, которые принципиально не мо­гут завершиться, а в § 2.5 будет представлено достаточно про­стое доказательство — основанное, по большей части, на ориги­нальном доказательстве Тьюринга — которое, помимо прочего, показывает, что проблема остановки действительно неразреши­ма вычислительными методами. (Что же касается следствий из того самого «прочего», ради которого, собственно, и затевалось упомянутое доказательство, то на них, в сущности, построены рассуждения всей первой части книги.)

Каким же образом можно применить такой класс задач, как задачи о диофантовых уравнениях или задачи о замощении, к со­зданию «игрушечной» вселенной, которая, будучи детерминиро­ванной, является, тем не менее, невычислимой? Допустим, что в нашей модели вселенной течет дискретное время, параметризо­ванное натуральными (т.е. целыми неотрицательными) числами Предположим, что в некий момент времени п состояние вселенной точно определяется одной задачей из рас­сматриваемо