В нормальной форме. Расчеты начальных условий

Цифровое моделирование заключается в решении дифференциальных уравнений численными методами на компьютере. Дифференциальные уравнения могут быть обыкновенными и в частных производных. Далее рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

В дифференциальном уравнении n-го порядка в качестве неизвестных величин используются функция у и её n производных по времени, а входным сигналом является сигнал х и его m (m£n) производных:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.27)

Нормальная форма записи дифференциального уравнения имеет вид

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.28)

Уравнение (1.27) и эквивалентная ему система (1.28) имеет бесконечное множество решений. Единственное решение выделяют из множества с помощью дополнительных условий. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач.

Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru для (1.27)

или у10, у20,…,уn0 для (1.28)

Второй тип – краевые (или граничные) задачи, в которых дополнительные условия заданы в виде функциональных соотношений между общими решениями (решениями с постоянными интегрирования). Количество таких условий должно быть равно n - порядку дифференциального уравнения. Если решение задачи имеется в интервале tÎ[t0…tk], то такие условия могут быть заданы как на границах t0 и tk, так и внутри интервала. В частном случае при условиях только t0 приходим к задаче Коши. Минимальный порядок обыкновенного дифференциального уравнения, для которого может быть сформулирована краевая (граничная) задача, равен 2.

Третий тип – задачи на собственные значения. Такие задачи имеют ту особенность, что кроме искомых функций у и их производных в уравнения (1.27) или (1.28) входят дополнительно k неизвестных параметров 1, 2,…,k, которые называются собственными значениями. Для единственности решения в интервале [t0…tk] необходимо задать n+k граничных условий.

К численному интегрированию дифференциального уравнения прибегают тогда, когда не удаётся по каким-либо причинам получить аналитическое решение. Для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при существовании аналитических решений. Важно учитывать также затраты времени на получение решение дифференциального уравнения либо численным, либо аналитическим методами.

Пусть обыкновенное дифференциальное уравнение, записанное в операторной форме, имеет вид

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.29)

Также заданы начальные условия для переменных х и у.

Рассмотрим один из методов приведения дифференциального уравнения (1.29) к нормальной форме (1.28). Сведение к нормальной форме выполняется следующим образом:

1). Если порядки левой и правой частей уравнения (1.29) одинаковы (п=т), то применяем такую подстановку, в результате которой понижается на единицу порядок в правой части так, что станет m<n. Для такого понижения порядка применяем алгебраическую подстановку

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.30)

Имеем

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

или

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Порядок производной переменной х стал равным (п-1), а переменной у – остался равным п.

Начальное условие для у1 равно: у100-b0х0.

Если изначально в (1.29) будет m<n, то пункт 1 не выполняют.

2). Понижаем на 1 порядок одновременно и х и у1 с помощью подстановки, представляющей собой дифференциальное уравнение, записанное в нормальной форме,

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.31)

Имеем

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Окончательно

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Начальное условие для у2 равно

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

3). Пункт 2 повторяют до тех пор, когда будет получено выражение без производной от х. Окончательно система уравнений в нормальной форме будет иметь следующий вид:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.32)

а выходной сигнал определится как

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.33)

при начальных условиях

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.34)

Числовой пример

Заданы:

- дифференциальное уравнение 3-го порядка

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.35)

- начальные условия

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.36)

Приведение к нормальной форме:

1). Так как порядки производных одинаковы в обеих частях дифференциального уравнения, то применяем алгебраическую подстановку вида

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.37)

Преобразуем уравнение (1.35) с учетом этой подстановки

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Чтобы в правой части была сокращена производная третьего порядка, необходимо принять b0=2. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.38)

2). Применяем к уравнению (1.38) дифференциальную подстановку вида

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.39)

Имеем

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Чтобы в правой части была сокращена производная второго порядка, необходимо принять b1=-7. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.40)

3). Применяем к уравнению (1.40) дифференциальную подстановку вида

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.41)

Имеем

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru

Чтобы в правой части была сокращена производная первого порядка, необходимо принять b2=29. Тогда дифференциальное уравнение примет вид

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.42)

4). Объединяя выражения (1.39), (1.41) и (1.42) с учетом найденных значений b1 и b2, получим систему дифференциальных уравнений в нормальной форме

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.43)

5). По результатам решения системы (1.43) будет найдена переменная у1 Переменная у, входящая в исходное дифференциальное уравнение (1.35), в соответствии с (1.37) и найденным значением b0, будет выведена в виде

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.44)

6). Рассчитываем начальные условия для переменных у1, у2 и у3, основываясь на начальных условиях (1.36).

Из (1.44) находим начальное условие у10 для переменной у1:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.45)

Из первого уравнения системы (1.43) при учете первого уравнения выражения (1.45) находим начальное условие у20 для переменной у2:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.46)

Из второго уравнения системы (1.43) при учете первого уравнения выражения (1.46) находим начальное условие у30 для переменной у3:

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.47)

Объединяя (1.45), (1.46) и (1.47), получим матрицу начальных условий для системы уравнений (1.43):

В нормальной форме. Расчеты начальных условий - student2.ru (1.48)

Задача решена.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая форма записи дифференциальных уравнений является нормальной ?

2. Приведите классификацию задач, описываемых дифференциальными уравнениями, по типам начальных и краевых условий.

3. В каких случаях и с какой целью применяют алгебраическую подстановку в процессе приведения дифференциального уравнения к нормальной форме?

4. В каких случаях и с какой целью применяют дифференциальную подстановку в процессе приведения дифференциального уравнения к нормальной форме?

5. Как производится пересчет начальных условий, заданных для исходного дифференциального уравнения, в начальные условия для переменны нормальной системы дифференциальных уравнений?

Литература [1-9]

Наши рекомендации