Тема: Численное решение дифференциальных уравнений

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

. (5.1)

Требуется найти на отрезке решение , удовлетворяющее начальному условию

(5.2)

Будем предполагать, что условия теоремы существования и единственности выполнены. Для решения используем метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (5.3)) и метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (5.4)) с шагом h и 2h. Отметим, что результаты могут сильно отличаться, ввиду того, что метод Эйлера, имея только первый порядок точности, используется, как правило, для оценочных расчетов. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта вычислить по формуле (5.5) [2].

, где h – шаг разбиения. (5.3)

, где (5.4)

.

= (5.5)

Задание 1

Написать программу решения дифференциального уравнения методом Эйлера на отрезке с шагом и 2h и начальным условием _. Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5. Сравнить результаты.

Задание 2

Написать программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта на отрезке с шагом и 2h и начальным условием . Оценить погрешность по формуле (5.5). Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.

Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы

1. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y₀ , f(x,y)=(3x-y)/(x²+y), a=2, b=3, h=0.1, y₀=1.

2. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y₀.

Таблица 5

N	Функция
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Проверить для дифференциального уравнения условия теоремы существования и единственности.

2. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

3. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?

4. Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?

5. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?

6. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?

7. Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?

Лабораторная работа №6

ТЕМА: Статистическая обработка опытных данных

Пусть зависимость между переменными и задана таблично (заданы опытные данные). Требуется найти функцию в некотором смысле наилучшим образом описывающую данные. Одним из способов подбора такой (приближающей) функции является метод наименьших квадратов. Метод состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений значений искомой функции и заданной таблично была наименьшей:

(6.1)

где - вектор параметров искомой функции.

Задание 1

Построить методом наименьших квадратов две эмпирические формулы: линейную и квадратичную.

В случае линейной функции задача сводится нахождению параметров и из системы линейных уравнений

, где

, , , M_y= _i

а в случае квадратичной зависимости к нахождению параметров , и из системы уравнений:

, где

, ,

Выбрать из двух функций наиболее подходящую. Для этого составить таблицу для подсчета суммы квадратов уклонений по формуле (6.1). Исходные данные взять из таблицы 6.

Задание 2

Составить программу для нахождения приближающих функций заданного типа с выводом значений их параметров и соответствующих им сумм квадратов уклонений. Выбрать в качестве приближающих функций следующие: , , . Провести линеаризацию. Определить для какого вида функции сумма квадратов уклонений является наименьшей.

Исходные данные помещены в таблице 6.

Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы

Таблица 6

№
		0.5	0.1	0.4	0.2	0.6	0.3	0.4	0.7	0.3	0.8
		1.8	1.1	1.8	1.4	2.1	1.8	1.6	2.2	1.5	2.3
		1.7	1.5	3.7	1.1	6.2	0.3	6.5	3.6	3.8	5.9
		1.5	1.4	1.6	1.3	2.1	1.1	2.2	1.8	1.7	2.3
		1.7	1.1	1.6	1.2	1.9	1.5	1.8	1.4	1.3	1.0
		6.7	5.6	6.7	6.1	7.4	6.9	7.9	5.9	5.6	5.3
		1.3	1.2	1.5	1.4	1.9	1.1	2.0	1.6	1.7	1.8
		5.5	5.9	6.3	5.8	7.4	5.4	7.6	6.9	6.6	7.5
		2.3	1.4	1.0	1.9	1.5	1.8	2.1	1.6	1.7	1.3
		5.3	3.9	2.9	5.0	4.0	4.9	5.1	4.5	4.1	3.7
		1.8	2.6	2.3	1.3	2.0	2.1	1.1	1.9	1.6	1.5
		4.4	6.4	5.3	3.7	4.9	5.6	3.0	5.0	4.3	3.7
		1.9	2.1	2.0	2.9	3.0	2.6	2.5	2.7	2.2	2.8
		6.6	7.6	6.7	9.2	9.4	7.8	8.4	8.0	7.9	8.7
		2.0	1.4	1.0	1.7	1.3	1.6	1.9	1.5	1.2	2.1
		7.5	6.1	4.8	7.4	5.7	7.0	7.1	6.8	6.0	8.9
		2.0	1.2	1.8	1.9	1.1	1.7	1.6	1.4	1.5	1.3
		7.5	5.9	7.0	8.0	5.0	7.4	6.4	6.6	6.3	5.7
		1.9	1.1	1.4	2.3	1.7	2.1	1.6	1.5	1.0	1.2
		4.7	3.4	3.8	5.2	4.6	5.5	3.9	3.9	3.2	3.5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов?

2. Чем отличается этот метод от метода интерполяции?

3. Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде различных элементарных функций к случаю линейной функции?

4. Может ли сумма квадратов уклонений для каких-либо приближающих функций быть равной нулю?

5. Какие элементарные функции используются в качестве приближающих функций?

6. Как найти параметры для линейной и квадратичной зависимости, используя метод наименьших квадратов?

Лабораторная работа №7