Тема 2.2. Квадратные матрицы 2-го и 3-го порядков с действительными элементами.

Практическая работа № 8

Тема: «Вычисление определителей, ранга матриц.»

Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- выполнять операции над матрицами.

знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Матрицейназывается прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или сокращенно: , где (т.е. ) – номер строки, (т.е. ) - номер столбца. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц и называется матрица такая, что

( , ).Аналогично определяется разность матриц.

Умножение вектора на число

Произведением матрицы на число kназывается матрица такая, что ( , ).

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы на матрицу на­зывается матрица такая, что

, где ,

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Тогда произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (их 3) не совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом определено произведение , которое считают следующим образом:

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. 3.

2. 4.

Определитель матрицы

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или , или ), называемое ее определителем, следующим образом:

1.

2.

3.

Свойства определителей

Если все элементы некоторого ряда про­порциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответ­ствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается . Так если:

то

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается .

Свойство 2.(«Разложение определителя по элементам некоторого ряда»).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.

Союзная и обратная матрицы

Матрицей союзной к матрице А называется матрица:

A*= ,

где А - алгебраическое дополнение элемента а данной матрицы А. Матрица А называется обратной матрице А, если выполняется условие А·А =А ·А=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Пусть А – невырожденная матрица

A= , и det A≠0.

Составим союзную матрицу

A*=

Тогда A = , т.е. A = · .

Отметим свойстваобратной матрицы:

1. det(A ) = ;
2. (A·B) =B·A ;
3. (A ) =(A ) .

Пример по выполнению практической работы

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. .

Пример 4. Найти определитель матрицы .

Решение:

Пример 5. Вычислить определитель

Ответ: =4.

Пример 7.НайтиА , если

Решение:

Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:

Союзная матрица будет следующей: . Вычислим обратную матрицу:

Проверкой убеждаемся, что обратная матрица найдена верно.

Задания для практического занятия:

Даны матрицы А и В. Найти:

1. A+ B, A-B
2. C=2A-3B
3. AB; BA
4. det A; det B
5. A‾ ¹, B‾ ¹. Проверить правильность их нахождения умножением :

Вариант 1 Вариант 2

A= ; B = ; A = ; B =

Вариант 3 Вариант 4

A = ; B = ; A = ; B = ;

Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей? Дать определения основных понятий матрицы;

2. Какая матрица называется квадратной? Единичной?

3. Какие операции можно производить над матрицами?

4. Что такое определитель матрицы? Перечислите его свойства;

5. Как вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы А?

7. Как найти союзную и обратную матрицы для матрицы А?

Практическая работа № 9

«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»

Цель работы:научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений.

знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.