Волны напряжения и тока длинной линии

«Статический» характер поля в поперечном сечении линии позволяет ввести понятия волн напряжения и тока. В плоскости поперечного сечения линии ( ) интеграл по криволинейному пути от вектора напряженности электрического поля не будет зависеть от пути интегрирования, так как под интегралом стоит градиентная функция. Интеграл равен разности потенциалов (напряжению) между проводниками. Эта разность потенциалов и будет суммой прямой и обратной волн напряжения (рис. 2.2, а):

(2.18)

где – комплексные амплитуды прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн напряжения.

Закон Ампера, примененный к току проводника линии, позволяет ввести понятие волн тока. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L, охватывающему один из проводников (рис. 2.2, б) в поперечном сечении линии ( ), равна току проводника как суммы прямой и обратной волн:

(2.19)

где – комплексные амплитуды тока прямой и обратной волн длинной линии.

Коэффициент пропорциональности между амплитудами бегущих волн напряжения и тока называется волновым сопротивлением линии:

(2.20)

Из формул (2.18)–(2.20) следует:

(2.21)

Здесь – погонная емкость между проводниками линии:

(2.22)

где – орт, перпендикулярный поверхности проводника.

Из (2.21) и (2.22) видно, что зависит от параметров среды и от геометрии поперечного сечения линии.

Понятия волн напряжения, тока и волнового сопротивления позволяют описывать режимы в длинной линии, используя известные теоремы и законы из теории цепей.

2.7. Связь коэффициента отражения с сопротивлением
нагрузки

Так как режимы в линии определяются сопротивлением нагрузки , включенной на конце линии, то удобно волны в линии записать через продольную координату, отсчитываемую от нагрузки в сторону генератора , где – длина линии (см. (1.7)). Тогда из (2.18), (2.19) легко получить:

(2.23)

(2.24)

где – комплексные амплитуды падающих «–» и отраженных «+» волн на конце линии (на нагрузке):

(2.25)

(2.26)

Где – модуль и фаза коэффициента отражения от нагрузки . Используя закон Ома и соотношения (2.25), (2.26), можно определить связь коэффициента отражения и комплексного сопротивления нагрузки

(2.27)

где – комплексные амплитуды напряжения и тока на нагрузке. Из формулы (2.27) легко получить обратную формулу для :

(2.28)

где – нормированное сопротивление нагрузки.

Согласованная линия

Из формулы (2.28) следует условие согласования:

(2.29)

что означает коэффициент отражения от нагрузки при подстановке (2.29) в (2.28) обращается в нуль:

(2.30)

В этом случае Отношение напряжения к току на нагрузке точно соответствует отношению амплитуд напряжения и тока падающей волны. Вся мощность, переносимая падающей волной, поглощается в активном сопротивлении нагрузки Длинная линия согласована с нагрузкой, в ней устанавливается режим бегущей волны. Подстановка (2.30) в (2.23) и (2.24) дает:

(2.31)

Амплитуда напряжения вдоль линии не меняется:

Входное сопротивление линии в любом поперечном сечении с координатой , равное отношению комплексных амплитуд напряжения и тока в данном сечений линии неизменно вдоль линии и равно ее волновому сопротивлению

Несогласованная линия

Если отрезок линии нагружен на конце на двухполюсник с сопротивлением то, в отличие от (2.31), наряду с падающей волной в линии возникает отраженная волна, бегущая от нагрузки к генератору. Распределение напряжения и тока в линии равно в этом случае сумме прямой и обратной волн (2.18), (2.19) напряжений и токов соответственно. Из этих формул легко получить распределения вдоль линии модулей напряжения и тока нормированных к модулю амплитуд падающих волн

(2.32)

(2.33)

Такой режим в линии называется режимом смешанных волн. В линии устанавливается интерференционная картина распределения модулей напряжения и тока (рис. 2.3). В тех сечениях где прямая и обратная

волны складываются в противофазе наблюдается минимум напряжения и максимум тока из (2.32), (2.33) легко получить:

(2.34)

В точках фазы и совпадают и равны нулю. В тех сечениях где прямая и обратная волны складываются в фазе наблюдаются максимумы напряжения и минимумы тока из (2.32), (2.33) легко получить:

(2.35)

В точках фазы и совпадают и равны нулю. Отношение модулей минимального и максимального напряжений (токов) (2.34), (2.35) называется коэффициентом бегущей волны (КБВ), а обратная величина – коэффициентом стоячей волны (КСВ):

(2.36)

(2.37)

Формулы (2.36) и (2.37) являются расчетными. Из формул (2.23), (2.24) легко получить нормированные значения функций напряжения и тока

(2.38)

которые удобно представить в виде векторов на комплексной плоскости с вещественной и мнимой осями (рис. 2.3). Модуль коэффициента отражения не зависит от , поэтому с ростом конец вектора описывает по часовой стрелке окружность радиуса . Легко показать, что длина всей окружности соответствует . В процессе поворота и меняются модули и от до . Значения модулей и представлены в виде интерференционного распределения напряжения и тока вдоль оси линии . На рис. 2.3, согласно формулам (2.38), изображены три состояния векторной диаграммы:

1) при (на нагрузке)

2) при (в точке минимума)

3) при (в точке максимума)

Коэффициент отражения по мощности – это отношение мощности, переносимой отраженной волной , к мощности, переносимой падающей волной

(2.39)

С учетом формул (2.39) и (2.31) мощность, поглощаемая в активном сопротивлении нагрузки определится как

(2.40)

где – нормированные активное и реактивное сопротивления нагрузки. Из (2.40) видно, что при и (согласованная линия) вся мощность падающей волны поглощается в нагрузке: .

Режим стоячей волны

При подключении к концу линии коротко замыкающей перемычки (заглушки) напряжение на конце линии обращается в нуль: Поскольку есть сумма падающей и отраженной волн: напряжения и должны быть равны друг другу по модулю и противоположны по фазе: Таким образом, коэффициент отражения на конце линии

т. е. В линии устанавливается режим стоячей волны с нулем напряжения на конце (рис. 2.4). Стоячей волной называют распределение напряжений, в которых минимумы доходят до нуля. Поскольку нули повторяются через , они, очевидно, совпадают с «условными концами линии». Распределение модуля напряжения и тока в линии находится по формулам:

(2.41)

Используя (2.41), легко найти координаты условных концов:

2.42)

Условные концы (2.42) можно определить по положениям каретки ИЛ, соответствующим нулевым показаниям прибора (см. рис. 2.4).

Отрезки линий с подвижным короткозамыкателем называются плунжерами (ПЛ) (рис. 2.5). Модуль коэффициента отражения не зависит от и равен единице. Фаза коэффициента отражения на входе плунжера линейно зависит от электрической длины между входом и короткозамыкателем и определяется очевидной формулой:

(2.43)

На рис. 2.6 изображен график изменения фазы от согласно формуле (2.43); период пилообразной зависимости составляет .

Порядок выполнения работы

1. Установите на конце ИЛ короткозамыкатель и определите положение трех соседних условных концов линии в зависимости от частоты. Измерения достаточно провести на 3–4 частотах в пределах диапазона генератора. При изменении частоты не забывайте перестраивать резонатор ИЛ на максимум показаний. Результаты сведите в таблицу. Постройте соответствующий график.

2. Установите (по указанию преподавателя) одну из частот, на которых проводились измерения в п. 1. Выберите пару соседних условных концов, которые будут использоваться в дальнейшем при измерении коэффициента отражения различных нагрузок. Определите длину волны экспериментально.

3. Отсоедините нагрузку от конца ИЛ и экспериментально определите модуль и фазу коэффициента отражения на конце разомкнутой линии по методике из 1.4. Приведите эскиз типа рис. 1.6.

4. Подключите к концу ИЛ плунжер. При сочленении плунжера с ИЛ нужно обеспечить надежный контакт их внутренних проводников в месте стыка и затем закрепить внутренний проводник ПЛ стопорным винтом. Снимите зависимость фазы коэффициента отражения на входе ПЛ от положения его короткозамыкателя.

Установите отсчет по шкале ПЛ, равный нулю. Найдите минимум (узел) в ИЛ между выбранными ранее условными концами. Изобразите соответствующий эскиз (типа рис 1.6). По формуле (1.23) вычислите фазу , приведите ее к интервалу –180...180° путем выбора знака перед π в формуле (1.22). Далее переместите короткозамыкатель плунжера на расстояние порядка (0,08…0,1)l и найдите новое местоположение минимума в ИЛ. Он должен сместиться к концу ИЛ на расстояние, равное смещению короткозамыкателя. В случае не полного равенства волновых сопротивлений коаксиальных линий ИЛ и ПЛ или наличия небольшой паразитной (технологической) неоднородности в месте соединения коаксиальных линий ПЛ и ИЛ смещение минимума направления будет немного отличаться от соответствующего смещения короткозамыкателя плунжера. Найдите новое значение , при этом знак перед π в формуле (1.23) возьмите прежним.

В дальнейшем, смещая короткозамыкатель шагами ~ (0,08…0,1)l, определите для 12–15 положений короткозамыкателя ПЛ. Приводить к интервалу –180...180° не нужно. Результаты измерений и расчетов сведите в таблицу. Постройте график зависимости от отсчета по шкале ПЛ. На графике отметьте те отсчеты, при которых короткозамыкатель находится на расстоянии целого числа полуволн от его входа (фаза ).

5. К концу ИЛ присоедините КЗ перемычку и установите зонд ИЛ в узле стоячей волны (т. е. в условный конец). Затем к концу ИЛ подключите плунжер и перемещайте короткозамыкатель до тех пор, пока не будут достигнуты нулевые показания прибора ИЛ. Это говорит о том, что на конце ИЛ сформировался узел напряжения, т.е. короткозамыкатель ПЛ находится на расстоянии от его входа. Запишите отсчет по шкале ПЛ.

6. Отключите плунжер от конца ИЛ и замените его КЗ перемычкой. Снимите распределение напряжения в ИЛ с помощью прибора для измерения напряжения.

Измерения начинаются от местоположения максимума напряжения, которое находится между двумя соседними условными концами: Установите каретку в положение, соответствующее отсчету . В этом положении максимума откалибруйте измерительный прибор. Для этого стрелку индикаторного прибора с помощью плавных регулировок поставьте на единицу.

Выберите шаг перемещения каретки вдоль ИЛ округлив его до целого числа миллиметров. Перемещая каретку шагами с помощью потенциометра измеряйте каждый раз отношение Здесь – показания измерительного прибора соответствующие напряжениям . Для откалиброванного прибора Полное перемещение каретки возьмите порядка от одного максимума до другого. Определите КБВ.

Из формулы (2.32), положив в ней можно получить нормированное распределение напряжения в короткозамкнутой линии:

(2.44)

Рис. 2.7

На одном графике постройте экспериментальную и расчетную (по формуле (2.44)) зависимости, совместив их максимальные значения, равные единице. Пример расчета для КБВ = 0,1 представлен на рис. 2.7.

2.12. Контрольные вопросы

1. Какова основная характеристика Т-волн в длинных линиях?

2. Какова связь поверхностного тока в стенках с полем Т-волны?

3. Что такое длина волны и как она связана с волновым числом (фазовой постоянной) в Т-волнах?

4. Какому уравнению удовлетворяется функция скалярного потенциала в поперечном сечении длиной линии?

5. Как выражается электрическое поле в Т-волне через функцию скалярного потенциала?

6. Каково соотношение между электрическим и магнитным полями в Т-волнах?

7. Что такое фазовая скорость и чему она равна?

8. Каковы предпосылки представления тока и напряжения в виде волн?

9. Что такое волновое сопротивление и чему оно равно?

10. Какова связь между коэффициентом отражения и нормированным сопротивления нагрузки и входным сопротивлением линии?

11. Каковы характеристики режима волн в линии при согласованной нагрузки? Каково при этом сопротивления нагрузки?

12. Что означает режим смешенных волн? Каковы характеристики этого режима?

13. Как выразить мощность отраженной через коэффициент отражения?

14. Каковы характеристики режима стоячей волны?

15. Что такое условные концы?

16. Назовите основной классификационный признак Т-волн и перечислите другие характерные особенности этих волн.

17. Изобразите картины силовых линий электрического и магнитного полей в двухпроводной, коаксиальной и симметричной полосковой линиях. Поясните, почему эти картины неодинаковы.

18. Как по известному полю Т-волны в линии рассчитать соответствующие ток и напряжение? Почему понятие «напряжение между проводами линии» имеет для Т-волн однозначный смысл?

19. Приведите выражения для комплексных амплитуд напряжения и тока Т-волн в функции от продольной координаты z (или x). Как изменяются модули и фазы этих комплексных амплитуд вдоль линии? Что такое волновое сопротивление линии? От чего зависит его величина?

20. Что называется согласованной линией? Как распределены напряжение и ток в такой линии в зависимости от продольной координаты? Каково входное сопротивление такой линии? Где поглощается мощность падающей волны?

21. В чем Вы видите причину появления отраженной волны в линии, нагруженной на произвольный двухполюсник? Как записываются распределения комплексных амплитуд напряжения и тока в такой линии?

22. Приведите выражения для распределения модулей напряжения и тока вдоль несогласованной линии. Опираясь на эти выражения, объясните, почему в линии устанавливаются распределения U(x) и I(x) с чередующимися максимумами и минимумами. В каких сечениях линии образуются максимумы и минимумы напряжения? Что такое КБВ и КСВ?

23. Дайте определение коэффициента отражения . Как изменяются вдоль линии его модуль и фаза?

24. Как связаны фаза коэффициента отражения в сечении x и фаза коэффициента отражения на конце линии? Как, зная коэффициент отражения на конце линии, найти его в любом другом сечении?

25. Коэффициент отражения записан в виде . Чему равны его модуль и фаза в сечениях, где наблюдаются максимум и минимум напряжения? Как записывается в этих сечениях сам коэффициент отражения?

26. Как, зная фазу коэффициента отражения на конце линии, рассчитать расстояния между концом линии и любым из минимумов напряжения?

27. Что такое коэффициент отражения по мощности ? Как он связан с коэффициентом отражения ? Какова мощность, поглощаемая нагрузкой, если мощность падающей волны равна 1 Вт, а модуль коэффициента отражения равен 0,2?

28. Как по известному КБВ и расстоянию между минимумом и концом линии найти коэффициент отражения нагрузки?

29. Что такое условные концы линии и как найти их положение экспериментально? Как, зная положения условных концов, найти длину волны в линии.

30. Какова последовательность действий при экспериментальном определении коэффициента отражения от нагрузки? Как обрабатываются результаты эксперимента?

31. Что такое плунжер? Чему равен модуль коэффициента отражения от его входа? Как можно изменять фазу коэффициента отражения от входа плунжера?

32. К концу ИЛ присоединена нагрузка в виде последовательно включенных: гибкого кабеля, переменного аттенюатора и заглушки. Как будет, по Вашему мнению, изменяться модуль коэффициента отражения от такой нагрузки при уменьшении затухания аттенюатора?

33. К концу ИЛ подключен плунжер; в ИЛ найдено положение минимума напряжения. Затем короткозамыкатель ПЛ сместили на расстояние Δl. В каком направлении и на сколько переместится минимум в ИЛ?

34. Каким образом следует действовать, чтобы снять по точкам распределение модуля напряжения в длинной линии?

35. Поясните, почему при введении в линию неоднородности положение минимумов и КБВ на участке между неоднородностью и нагрузкой не изменяется. Изменяются ли при этом абсолютные величины напряжений на этом участке?

ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДАХ

Цель работы: изучение свойств волн в волноводах; измерение коэффициентов отражения от различных нагрузок волновода.