Уравнения состояния в нормальной и канонической формах, схемы моделирования (в режиме Simulink), виды переходного процесса.
Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства – переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.
Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:
(1.2)
Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.
Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область:
Для перехода во временную область воспользуемся формальными
правилами:
Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид:
y΄΄΄(t)+16y΄΄(t)+81y΄(t)+126y(t)=1260u΄΄ (t)+2520΄u(t)
где и – коэффициенты уравнения.
A =
Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям: ,
B = ,
Подставив рассчитанные матрицы в систему (1.2), получим
Скалярная форма уравнений состояния:
Запишем уравнения состояния в канонической форме. Для этого введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М*q. М – это модальная матрица, которая имеет вид
M =
где li – характеристические числа матрицы Фробениуса А.
При подстановке q вместо x в присоединенную каноническую форму уравнений состояния (1.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в модальной канонической форме:
(1.3)
Здесь L – диагональная матрица:
L =
где M-1 – матрица, обратная модальной.
,
где AdjM– матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.
. |
Подставив найденные значения в (1.3), получим:
Скалярная форма уравнений состояния:
Рисунок 1.9 - Схема моделирования системы для канонической формы в режиме Simulink
!!!!
Рисунок 1.10 – Вид переходного процесса
Уравнения состояния в ss-форме составим по матрицам, полученным в пакете MATLAB:
,
, ;
Подставим полученные матрицы в систему уравнений (1.2):
Скалярная форма уравнений состояния системы:
Рис 1.11 – Схема моделирования системы для нормальной формы в режиме Simulink
Рисунок 1.12 – Вид переходного процесса
Графики на выходе трех схемах моделей, соответствующих уравнениям состояния в нормальной, канонической и ss формах, совпадают с графиком переходной функции, построенной в MATLAB, следовательно, схемы построены верно.