Метод наложения (суперпозиции)

Предполагается, что если в электрической цепи действует несколько источников энергии (ЭДС и тока), то ток в каждой ветви данной цепи (цепь линейная) может быть найден как алгебраическая сумма токов, рассчитанных отдельно от каждого источника. Так, для схемы на рис. 3.2 следует рассмотреть две схемы: с источником ЭДС (рис. 3.5) и с источником тока J (рис. 3.6). Тогда токи в ветвях схемы рис. 3.2 получаются как результат алгебраического суммирования частных токов Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru и Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Метод суперпозиции позволяет, рассматривая упрощенные схемы, имеющие по одному источнику энергии, определить все требуемые токи и напряжения.

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru
Рис. 3.5 Рис. 3.6

При использовании метода суперпозиции необходимо выполнять следующие правила:

1. Исходная схема разбивается на более простые схемы с одним источником энергии (сколько источников энергии, столько и схем).

2. Источники тока при исключении их из схемы размыкаются, а источники ЭДС при их исключении из схемы закорачиваются. Внутренние сопротивления источников ЭДС и тока во всех схемах учитываются.

3. Частные токи имеют свои направления, определяемые источниками энергии в данной частной схеме.

Недостаток метода суперпозиции – большое количество схем для рассмотрения.

Метод контурных токов (МКТ)

Контурный ток – ток, имеющий в рассматриваемом контуре во всех его ветвях одно и то же значение, как по величине, так и по направлению. В общем случае контурный ток не равен току в ветви. Совпадает контурный ток только в ветви с источником тока, а также в любой внешней ветви. Ток в смежной ветви определяется алгебраическим суммированием контурных токов. Сопротивления смежных ветвей называются взаимными сопротивлениями.

Матричное уравнение для метода контурных токов

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , (3.1)

где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – квадратная матрица сопротивлений; Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица контурных токов; Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица задающих источников ЭДС, в которой со знаком «+» записывают те источники ЭДС, которые по направлению совпадают с контурными токами.

В матрице сопротивлений символами Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru обозначены собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений ветвей, входящих в данный контур, а символами Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – взаимные сопротивления между контурами, определяемые сопротивлениями ветвей между контурами (смежных ветвей).

По методу контурных токов количество Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru уравнений определяется количеством независимых контуров и равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . Поскольку контурный ток, проходящий через источник тока, равен величине тока источника тока, то такой контур не рассматривается.

Поскольку в форме записи (3.1) присутствуют только задающие источники ЭДС, то независимые источники тока должны быть эквивалентно преобразованы в источники ЭДС.

Проведя для рассмотренной ранее схемы (рис. 3.2) указанное эквивалентное преобразование (рис. 3.3) и выбрав направления контурных токов Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru и Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , получим схему, приведенную на рис. 3.7. Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru
Рис. 3.7

Матрица сопротивлений для данной схемы имеет вид Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – контурные сопротивления, которые всегда положительны, а знак любого взаимного сопротивления определяется направлениями контурных токов: если в ветви с этим сопротивлением контурные токи совпадают по направлению, то перед соответствующим взаимным сопротивлением ставится знак «+», если противоположны – то знак «–». Для схемы на рис. 3.7 собственное сопротивление первого контура равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ; собственное сопротивление второго контура равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ; взаимное сопротивление равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ; задающая ЭДС в контуре с током Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru равна Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ; задающая ЭДС в контуре с током Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru равна Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Система уравнений, описывающая схему (рис. 3.7) и соответствующая матричному уравнению (3.1) имеет вид:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . (3.2)

Главный определитель системы уравнений (3.2)

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

В результате решения уравнений системы (3.2) находят контурные токи.

Ток в первом контуре Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – получено заменой первого столбца главного определителя системы (3.2) элементами столбцовой матрицы задающих источников ЭДС. Тогда контурный ток Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Ток во втором контуре Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru получено заменой второго столбца главного определителя системы (3.2) элементами столбцовой матрицы задающих источников ЭДС. Тогда контурный ток Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Токи в ветвях определяются через контурные токи: Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Использование метода контурных токов позволяет:

1. Уменьшить количество уравнений по сравнению с количеством уравнений, составляемых по законам Кирхгофа. Для рассматриваемой схемы (рис. 3.2) число уравнений, составленных по законам Кирхгофа, равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , а по методу контурных токов число уравнений равно Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

2. Уменьшить количество рассматриваемых схем по сравнению с методом наложения.

3. Применять вычислительную технику для реализации матричных методов расчета.

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов (МУП) также основан на использовании законов Кирхгофа. Количество уравнений по МУП Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – количество узлов. Таким образом Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Матричное уравнение для МУП

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , (3.3)

где

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – квадратная матрица проводимостей;

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица узловых потенциалов;

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица задающих источников тока.

При использовании МУП потенциал одного из узлов полагается равным нулю, а источники ЭДС эквивалентно преобразуются в источники тока.

Рассмотрим применение МУП на примере схемы, приведенной на рис. 3.2. Для этой схемы количество уравнений Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru . Положив потенциал узла 3 равным нулю ( Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ) и осуществив эквивалентное преобразование источника ЭДС Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru в источник тока Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , получим схему, изображенную на рис. 3.8.

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru
Рис. 3.8

Для этой схемы матрица проводимостей Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – узловые проводимости (суммы проводимостей всех ветвей, входящих в узел), определяемые в соответствии с выражениями: Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – взаимные проводимости – проводимости ветвей между узлами, определяемые в соответствии с выражением Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица узловых потенциалов; Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – матрица задающих источников тока, в которой Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Таким образом, система уравнений имеет вид:

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru (3.4)

Решение системы уравнений (3.4), состоящее в определении потенциалов Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru и Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , такое же, как и в методе контурных токов: Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru , где Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – главный определитель системы уравнений (3.4); Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – получено заменой первого столбца в главном определителе элементами матрицы задающих токов; Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru – получено заменой второго столбца в главном определителе элементами матрицы задающих токов.

Тогда решение системы (3.4):

Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru и Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Правила при решении методом узловых потенциалов:

1. Один узел выбирается базисным, с Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

2. Все источники ЭДС эквивалентно преобразуются в источники тока.

3. Знаки в матрице проводимостей строго соответствуют приведенному примеру, узловые проводимости положительны, а взаимные – отрицательны.

4. В задающих источниках тока со знаком «+» записываются втекающие токи, со знаком «–» – вытекающие.

5. Токи в ветвях определяются путем применения закона Ома для участка цепи ( Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru ). Для определения токов в ветвях необходимо вернуться к исходной схеме (рис. 3.2) и определить значения токов в ветвях: Метод наложения (суперпозиции) - student2.ru .

Наши рекомендации