Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Л. Г. Коршунова, А. В. Хандзель

Лекция 3. Уравнения двух-трёх мерных моделей пластовых систем. Неоднофазные модели, уравнения фазовых проницаемостей.

Рассмотрим движение точки с постоянной насыщенностью S(x, t)

S = const, dS = 0 →

Умножим на «bh»

- расход через входное сечение,

.

Задавая «S», можно определить расстояние от входа в пласт для заданного значения водонасыщенности.

Установим положение фронта вытеснения и водонасыщенности на фронте.

Для этого рассмотрим материальный баланс закачанной в пласт воды.

Пусть к моменту t закачано .

Расстояние от х=0 до фронта - х=х_В , насыщенность связанной водой – S=S_В

Используя введенные замены , обозначим:

; ;

Разделим уравнение материального баланса на Q_B3 и используем обозначения {ξ}:

,

но

,

где: - насыщенность на входе ;

- на фронте вытеснения.

Сделаем интегрирование по частям:

Подставляем в .

На входе К_Н = 0, .

.

- касательная к

Графическое определение S_{фронта,} S_фронтаconst.

Для нахождения распределения насыщенности по всей длине, находят , дифференцированием фазовых проницаемостей:

Для фиксированного «t», задаваясь «S» находят «х», или наоборот.

Длительность безводного периода когда

Так как режим жесткий, то

Коэффициент безводной нефтеотдачи:

,

где, - коэффициент вытеснения;

- коэффициент охвата.

,

где, - добыча нефти в безводный период.

Процесс изменения S(x, t) идет так, что и , кривая водонасыщенности растягивается.

Определим текущую нефтеотдачу и обводненности продукции в водный период ( ).

Будем считать, что в водный период идет продвижение фиктивного фронта вытеснения за пределы пласта.

при

Дебит нефти и воды в безводный период:

Отсюда текущая обводненность продукции:

Текущую нефтеотдачу определяют отношением

(добыча нефти)

к первоначальному объему нефти в пласте

.

Таким образом, определены основные технологические показатели разработки – текущая нефтеотдача и обводненность добываемой продукции.

Лекция 4. Уравнения многофазных и многокомпонентных моделей фильтрации.

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Л. Г. Коршунова, А. В. Хандзель

Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики

Учебное пособие

(курс лекций)

Ставрополь, 2013

Рецензент: канд. техн. наук, доцент кафедры НД, СКФУ Сизов В. Ф.

Курс лекций по дисциплине «Математическое моделирование в задачах нефтегазовой отрасли. Методы математической физики» разработан в соответствии с учебной программой и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для обучающихся в магистратуре по специальности 130500.68 Нефтегазовое дело

©Коршунова Л. Г., 2013

©Хандзель А. В., 2013

© ФГАОУ ВПО «Северо - Кавказский федеральный университет », 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Типы пластовых моделей. Классификация систем разработки месторождений. Режимы разработки. Основные уравнения математических моделей разработки нефтяных, газовых и
газоконденсатных месторождений. 4

Лекция 2. Математические модели естественных режимов разработки. Основы теории упругого режима. Точные и приближённые решения уравнения пьезопроводности. 17

Лекция 3. Уравнения двух-трёх мерных моделей пластовых систем. Неоднофазные модели, уравнения фазовых проницаемостей. 30

Лекция 4. Уравнения многофазных и многокомпонентных моделей фильтрации. 36

Лекция 1. Типы пластовых моделей. Классификация систем разработки месторождений. Режимы разработки. Основные уравнения математических моделей разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений.

Моделирование представляет один из основных методов познания природы и общества.

Инженер газонефтяной отрасли должен представить модель конкретного месторождения и на основе этого представления определить количественные характеристики процесса разработки.

Модель пласта – это количественные представления о его геолого-физических свойствах.

Модель процесса разработки – это количественное представление о поведении основных промысловых характеристик (давлений, дебитов) во времени.

При выполнении какого-либо исследования с помощью моделирования, прежде всего, ставятся цели исследования. В зависимости от цели строится соответствующая модель

Основные этапы моделирования:

- определение целей

- предварительное изучение объекта

- построение модели

- проведение моделирования (воспроизведения)

- сравнение результатов моделирования с фактическими данными о поведении объекта

- совершенствование и уточнение моделей

	Цели моделирования

Основные этапы моделирования:

- определение целей

- предварительное изучение объекта

- построение модели

- проведение моделирования (воспроизведения)

- сравнение результатов моделирования с фактическими данными о поведении объекта

- совершенствование и уточнение моделей

Основные типы моделей:

1) естественные физические модели

2) аналоговые модели

3) математические модели

1) Естественная физическая модель есть замена натурального объекта его уменьшенной копией в лабораторных условиях. Смысл в том, чтобы по результатам опытов дать рекомендации о характерных эффектах в природных условиях. При этом должны выполняться условия подобия модельных и натуральных процессов.

Для этого размеры модели, свойства пласта и флюидов выбираются в лабораторных условия так, чтобы были выполнены условия геометрического подобия и чтобы соотношения действующих сил в пласте и в физической модели были одинаковыми.

Классический пример – труба, набитая песком. Здесь фильтрационный поток одномерный. Это – элементарные модели, они позволяют изучать основные законы фильтрации. Так Дарси установил основной закон фильтрации.

Однако практическое применение физического моделирования месторождений ограничено.

2) Аналоговое моделирование основано на аналогиях в описании фильтрационных процессов с другими физическими процессами – диффузией, переносом тепла, электрического тока.

Так, единый линейный закон физических процессов фильтрации, теплопроводности, электрического тока:

,

здесь , , коэффициент гидропроводности, q – масса жидкости, просачивающейся через пористую среду за единицу времени через единицу площади.

Для теплового потока q – количество теплоты протекающей за единицу времени через единицу площади

,

- коэффициент теплопроводности.

Для электрического тока q – сила тока

,

напряжение, - удельная электропроводность.

Однотипным для данных процессов является и уравнение неразрывности:

общий вид

Величины	Фильтрационный поток	Тепловой поток	Электрический ток
	Коэффициент гидропроводности	Коэффициент температуропроводности	Удельная электропроводность
	Давление	Температура	Напряжение

При установившемся движении общее уравнение (Лапласа):

Решение уравнения реализуется в электрических сетках, где фильтрационное сопротивление заменяется проволочным, давление – потенциалом.

С развитием вычислительной техники наибольшее практическое применение имеют математические модели.

Математическая модель – это совокупность математических уравнений, описывающих процесс методов решений этих уравнений, алгоритмов.

Компьютерная модель – программа, реализующая цифровое решение.

Любая математическая модель использует упрощения, идеализацию идеального объекта, что позволяет создать расчетную схему.

Классические модели описывают установившуюся или неустановившуюся фильтрацию однофазного флюида в однородной пористой среде.

Более совершенные модели учитывают многофазность, многокомпонентность потоков пластовых флюидов и сложную геометрическую форму коллекторов. В этих моделях задачи решаются с использованием численных методов. Такие модели называют численными.

На практике оказывается необходимым сочетание классических моделей с более сложными численными моделями.

Моделирование системы разработки нефтяного месторождения.

Выделение эксплуатационных объектов, естественные и искусственные режимы.

Эксплуатационный объект – это часть нефтяной залежи по площади и по толщине, разрабатываемая единой сеткой скважин. Критерий разбиения нефтяной залежи на эксплуатационные объекты – максимально эффективная разработка месторождения в целом с высокими технико-экономическими показателями. Считается лучшим тот вариант, который обеспечивает выполнение плановых заданий при наименьших расходах средств и максимально возможных коэффициентов нефтеотдачи и условия соблюдения всех необходимых мер по охране недр и окружающей среды.

Самостоятельными объектами могут быть пласты различной толщины, имеющие 20-30м и более непроницаемые разделы. При небольшой толщине и различии зон слияния, осложняющих раздельное регулирование (закачку воды), пласты соединяются в один объект.

Нецелесообразно объединять пласты с различной литологической характеристикой (например, коллектор сложенный трещиноватыми карбонатными породами с терригенными). Считается целесообразным соединять пласты, проницаемость пород в которых различается в 2-3 раза, если методы поддержания давления позволяют регулировать их выработки.

Объединение пластов целесообразно при единой водонапорной системе и поверхности нефтеводяного контакта и нецелесообразно при условиях быстрого обводнения отдельных пластов и при химической несовместимости пластовых вод.

Совместная разработка пластов облегчается, если природные их условия способствуют проявлению и поддержанию одинакового гидродинамического режима.

На выбор эксплуатационных объектов влияют физические и физико-химические свойства нефти и газа. Высокая вязкость нефти, большое различие в давлениях насыщения нефти газом, значительное содержание парафина и сернистых соединений в нефти некоторых пластов препятствует их объединению в один объект с другими горизонтами. В некоторых случаях нельзя объединять пласты вследствие высокого содержания азота, сероводорода и других примесей в газе, растворенном в нефти.

Установив по различным признакам целесообразность объединения пластов в один объект, далее проверяют данный вариант технологическим анализом, гидродинамическими и экономическими расчетами.

При объединении пластов действуют две противоположные тенденции. С одной стороны, чем больше пластов объединяется, тем меньше затраты на эксплуатацию их единой сеткой скважин. С другой стороны максимальная добыча нефти достигается при раздельной эксплуатации пластов. Поэтому необходим предварительные гидродинамические и экономические расчеты для выбора оптимального варианта.

Существуют методики количественной оценки различия свойств пластов, например, предложенная В.Г.Калининым.

Объект разработки – выделенное в пределах месторождения образование – пласт, структура, совокупность пластов, содержащие промышленные запасы углеводородов, извлечение которых осуществляется «своей сеткой скважин».

Системы разработки нефтяных месторождений.

Система разработки – совокупность инженерных решений:

§ последовательность и темпы разбуривания и обустройства;

§ методы воздействия на пласты с целью извлечения нефти;

§ число добывающих и нагнетательных скважин;

§ число резервных скважин;

§ методы управления разработкой;

§ охрана окружающей среды и недр;

На практике системы разработки различают по двум основным признакам:

· наличие или отсутствие воздействия на пласт;

· расположение скважин;

Можно указать 4 основных параметра, которыми характеризуют систему разработки:

1. Плотность сетки скважин S_c

, S – общая площадь нефтеносности, n – общее число скважин (нагнетательных и добывающих)

[S_c] = м² /скв.

Иногда применяют параметр , - число добывающих скважин

2. Параметр Крылова – отношение извлекаемых запасов к общему количеству скважин

=тонн/скв

3. Параметр – отношение числа резервных скв. к общему числу буримых

Классифицируют системы разработки по двум основным признакам (воздействию и расположению скважин)

1. системы без воздействия.

а) если в режиме растворенного газа – слабое перемещение водных и нефтяных контактов – тогда правильное, равномерное геометрически расположение скважин.

б) при активном продвижении контактов – тогда располагают, как бы повторяя последовательные положения контуров.

Для системы без воздействия параметр S_c мал для высоковязких нефтей ( ), для низкопроницаемых - , тогда как для обычных коллекторов , для трещиноватых, высокопроницаемых . Среднее расстояние между скважинами

Системы без воздействия применяются редко, на истощенных ранее месторождениях, или при высокой активности контурных вод.

2. Системы с воздействием

а). Законтурное заводнение. Добывающие скв. – рядами вдоль внутреннего контура. Характерные параметры: (кроме S_c)

- расстояние между первым добывающим рядом и контуром нефтеносности;

- между 1-м и 2-м добывающими рядами, и т. д. , …

- расстояние между добывающими скважинами.

Увеличение количества центральных рядов не целесообразно, т.к. давление в центре упадет и будет режим растворенного газа.

Воздействие на пласт в целом дает увеличение S_c, т.к. при более высоких давлениях увеличивается дебит, а также увеличивается N_кр.

Параметр законтурного заводнения колеблется от 1 до 5.

б). Системы с внутриконтурным заводнением применяются чаще, и не только с закачкой воды, но и с другими технологиями. Они разделяются на рядные и площадные.

Рядные блочные системы – ряды поперек направлению простирания месторождения. Однорядные – 1 ряд нагнетательных, 1 ряд – добывающих; двухрядные – 1 ряд – нагнетательных, 2 ряд – добывающих и так до 5тирядных. В центре – «стягивающий» добывающий ряд, к нему стягивается водный контур.

Увеличение рядности более 5 нецелесообразно, по той же причине, что и увеличение центральных скважин в законтурном заводнении (падения давления в центре рядов).

Однорядные системы – ряд нагнетательных, ряд эксплуатационных.

Рядные системы характеризуются расстояниями

- между нагнетательными скважинами, - добывающие,

- ширина полосы между рядами нагнетательных скважин (1-15 км).

В однорядной системе:

, т.е.

Интенсивная система воздействия – дебиты нагнетания = дебиты отбора. В системах с геометрически упорядоченной сеткой скважин можно выделить характерные элементы, из которых складывается вся система.

Для однофазной системы с шахматным расположением скважин 1 элемент.

Для 3-х и 5-х рядных систем имеет значение

- расстояние между нагнетательным и 1-ым добывающими рядами,

- между 1-м и 2-м добывающими,

- между 2-м и 3-м добывающими,

- полоса между двумя нагнетательными рядами.

Для 3-х рядной .

Для 5-ти рядной .

Элемент 3-х рядной площадные системы внутриконтурного заводнения – пяти, семи и девятиточечные системы. Пятиточечный элемент – квадрат, в середине нагнетания, по краям добывающих:

Семиточечный элемент – 6-тиугольник из добывающей скважины, нагнетательной в середине:

Девятиточечный элемент – квадрат, на каждой из сторон 3 добывающих скважины, в середине – нагнетательные:

Площадные системы более «жесткие», чем рядные. Преимущества площадных систем – рассосредоточенное воздействие, что важно для неоднородных пластов, различная интенсивность воздействия на элементы. Рядные системы имеют преимущества охвата по вертикали, т.е. для слоисто неоднородных пластов.
1.Математические модели естественных режимов разработки. 2.Основы теории упругого режима. 3.Точные и приближённые решения уравнения пьезопроводности

Упруговодонапорный режим – пластовое давление выше давления насыщения, поля давлений и скоростей внутри контура и законтурные неустановившиеся, изменяются во времени в каждой точке пласта.

Упругий режим с точки зрения физики – расходование или пополнение упругой энергии пласта, происходящее благодаря сжимаемости пород и насыщающих их жидкостей.

Теория упругого режима применяется при решении ряда задач:

1. при определении давления на забое скважины в результате ее пуска, остановки, изменения режима эксплуатации, при интерпретации исследований скважин.

2. при расчетах перераспределения давления в пласте и соответственного изменения давления на забоях одних скважин в результате пуска-остановки или изменения режима работы других скважин, разрабатывающих пласт (гидропрослушивание).

3. при расчетах изменения давления на начальном контуре нефтеносности или средневзвешенного давления по площади нефтеносности при заданном во времени поступлении воды в нефтеносную часть из законтурной области.

Основные параметры теории упругого режима.

1) коэффициент объемной упругости жидкости и пласта.

Коэффициент объемной упругости воды изменяется в зависимости от давления, температуры, количества растворенного газа. В некоторых диапазонах можно считать постоянным.

,

Пласт считается однородной упругой средой, подчиняющейся закону Гука. Относительное изменение порового объема пласта пропорционально изменению давления. Скелет породы испытывает давление

- горное давление, - давление флюида, считая горное давление постоянным

Сжимаемость скелета , здесь V- выделенный объем пласта, V_п - поровый объем.

2) упругий запас выделенной области пласта определяется как количество жидкости, высвобождающейся из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет упругого расширения жидкости и скелета породы.

Пример.

Пласт объемом V=10⁹м³ (1км³)

,

Начальное давление 16 МПа,

Давление насыщения 6 МПа,

Залежь нефти замкнута

Вопрос: сколько можно добыть нефти до давления насыщения:

упругий запас ,

упругий запас при снижении давления на 10 МПа

упругий запас =

,

,

Коэффициент упругоемкости пласта

имеют одинаковые порядки.

Эксплуатируемая залежь газа вызывает возмущение окружающего водоносного пласта, т.е. расширение и высвобождение воды из прилегающего к области пониженного давления газовой залежи водоносного пласта.

Но распространяется это изменение давления не мгновенно, а с некоторой скоростью. Скорость распространения этого возмущения характеризуется коэффициентом:

æ = назван Щелкачевым коэффициентом пьезопроводности

æ

С помощью коэффициента «æ» вводится безразмерный параметр Фурье:

æ, где t – время работы скважины, r – расстояние от скважины

Для понимания роли коэффициента «æ» в распространении давления в водоносном пласте приведем без вывода дифференциальное уравнение, названное уравнением пьезопроводности, т.е. распространения давления.

æ

или для неустановившегося плоско-радиального течения:

æ

Получено решение этого уравнения в предложении, что пласт неограничен и введен сток (скважина) с постоянным дебитом Q.

P₀ - начальное давление в невозмущенном пласте

t₀=момент пуска стока

P(r,t) – давление в точке «r» пласта, в момент времени t от мгновения пуска скважины.

Основная формула упругого режима:

Интегральная показательная функция:

Значения интегральной показательной функции

æ		10-4	10-2	0.1				∞
-Ei(-x)	∞	8/631	4.04	1.82	0.22	0.049

Основная формула упругого режима записывается в безразмерном виде, где

;

Залежь газа рассматривается как укрупненная скважина, пущенная в бесконечном водоносном пласте, тогда основная формула дает падение давления на контуре залежи газа R_з при постоянном дебите воды, вторгающейся в залежь.

Для малых «x» используют приближение:

Получены приближенные формулы для падения давления на контуре укругленной скважины при переменном дебите воды в газовую залежь.