Исследований функций и построение графиков

Рассмотрим приложения производной к исследованию поведения функций.

Возрастание и убывание функций

Теорема. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает (соответственно убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть Исследований функций и построение графиков - student2.ru ; Исследований функций и построение графиков - student2.ru ; Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Надо доказать, что Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Для Исследований функций и построение графиков - student2.ru на отрезке Исследований функций и построение графиков - student2.ru выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому

Исследований функций и построение графиков - student2.ru ,

где Исследований функций и построение графиков - student2.ru . По условию Исследований функций и построение графиков - student2.ru , следовательно, Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Отсюда Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Доказанная теорема дает достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Необходимое условие монотонности формулируется следующим образом:

если функция Исследований функций и построение графиков - student2.ru возрастает (убывает) на некотором промежутке, то Исследований функций и построение графиков - student2.ru (соответственно Исследований функций и построение графиков - student2.ru ) на этом промежутке.

Итак,

1) если Исследований функций и построение графиков - student2.ru , то Исследований функций и построение графиков - student2.ru возрастает;

2) если Исследований функций и построение графиков - student2.ru возрастает, то Исследований функций и построение графиков - student2.ru , т.е. в отдельных точках производная возрастающей функции может равняться нулю.

Аналогичные утверждения верны для убывающей функции.

Экстремумы

Определение 1. Точка Исследований функций и построение графиков - student2.ru называется точкой максимума функции Исследований функций и построение графиков - student2.ru , если в некоторой окрестности точки Исследований функций и построение графиков - student2.ru выполняется неравенство Исследований функций и построение графиков - student2.ru .

Определение 2. Точка Исследований функций и построение графиков - student2.ru называется точкой минимума функции Исследований функций и построение графиков - student2.ru , если в некоторой окрестности точки Исследований функций и построение графиков - student2.ru выполняется неравенство Исследований функций и построение графиков - student2.ru .

Значения функции в точках Исследований функций и построение графиков - student2.ru и Исследований функций и построение графиков - student2.ru называются соответственно максимумоми минимумом функции (т.е. Исследований функций и построение графиков - student2.ru – максимум, Исследований функций и построение графиков - student2.ru – минимум).

Общий термин для максимума и минимума – экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если в точке Исследований функций и построение графиков - student2.ru дифференцируемая функция Исследований функций и построение графиков - student2.ru имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Поэтому необходимое условие экстремума можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы функция Исследований функций и построение графиков - student2.ru имела экстремум в точке Исследований функций и построение графиков - student2.ru , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( Исследований функций и построение графиков - student2.ru ) или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует), называются критическими (или стационарными).

Итак, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка не всегда является точкой экстремума.

Пример. Исследований функций и построение графиков - student2.ru . В точке Исследований функций и построение графиков - student2.ru производная этой функции равна нулю. Но в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку Исследований функций и построение графиков - student2.ru производная дифференцируемой функции Исследований функций и построение графиков - student2.ru меняет знак с плюса на минус, то в точке Исследований функций и построение графиков - student2.ru имеется максимум, а если с минуса на плюс, то – минимум.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале Исследований функций и построение графиков - student2.ru выполняется условие Исследований функций и построение графиков - student2.ru , а в некотором интервале Исследований функций и построение графиков - student2.ru – условие Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Тогда функция Исследований функций и построение графиков - student2.ru возрастает на интервале Исследований функций и построение графиков - student2.ru и убывает на интервале Исследований функций и построение графиков - student2.ru . Поэтому Исследований функций и построение графиков - student2.ru и для Исследований функций и построение графиков - student2.ru , и для Исследований функций и построение графиков - student2.ru , т.е. Исследований функций и построение графиков - student2.ru для всех Исследований функций и построение графиков - student2.ru . А это значит, что в точке Исследований функций и построение графиков - student2.ru – максимум.

Для случая, когда производная меняет знак с минуса на плюс, доказательство аналогично.

Заметим, что если изменения знака не происходит, то экстремума нет.

Наши рекомендации