Споеабы сравнения множеств детьми разного возраста

Влияние простран- Маленькие дети очень рано начинают сравни-
ствеиных факторов _вать численности множеств, определяя боль­
на восприятие меньшую из них, когда у них возникает
множества детьми .J

дошкольного ^{в этом} реальная необходимость. Например,
возраста. мать дала старшему сыну три конфеты, а

младшему (1 год 6 мес.) лишь две такие же. Малыш, зорко взглянув на конфеты брата, тянется к ним, выра­жает свое недовольство. Как он узнал, что у брата конфет боль­ше, чем он руководствовался, сравнивая множества? Три конфе­ты занимают большую площадь, чем две конфеты, если они оди­накового размера,-— это один признак. Малыш может поэлемен­тно сравнить конфеты и обнаружить, что у него недостает од­ной,— это другой способ сравнения. Но попробуйте разместить две конфеты на большей площади, а три — на меньшей, и ребе­нок уже сбит со своей позиции, склонен думать, что он неправ в своих притязаниях.

Исследования, проведенные Н. А. Менчинской, А. М. Леуши-ной и другими, убеждают, что на восприятие множеств оказыва­ют влияние различные качественно-пространственные факторы.

При несвоевременном развитии умений четко вычленять эле­менты множества у детей часто создается привычка оценивать «величину» множества не по количеству образующих его эле­ментов, а по разным пространственно-качественным признакам, например, по размерам образующих его элементов, по величине площади, занимаемой множеством. Эта тенденция у некоторых детей сохраняется даже в младшем школьном возрасте. Однако с возрастом стремление определять величину множества по про­странственно-качественным признакам уменьшается, но оно со­храняется достаточно длительно, потому что количественная сторона остается еще долгое время слабодифференцированной, если на это не обращается внимания.

Отсюда следует вывод: важно своевременно развивать у де­тей умение дифференцировать элементы множества, не ограни­чиваясь лишь восприятием его как структурно-целостного един­ства, и еще в дочисловой период учить детей производить срав­нение численностей множеств путем практического установле­ния соответствия между их элементами.

Выше указывалось, что при воспроизведении обучения" линейно расположенного множества дети на-

поэлементному кладывают пуговицы, заполняя пространство сравнению между конечными его элементами, но не множеств и умению _в равном количестве. Чтобы научить де-^{те п}Р^авильно воспроизводить множество, изо­браженное на карточке, необходимо, чтобы они видели каждый элемент совокупности и, пользуясь приемом наложения, воспроизводили данное множество. Иссле-

дования и массовый опыт убедительно показали, что уже детей двух-трех лет можно научить приему наложения предметов одной совокупности на рисунки предметов другой совокупности. Детям предлагалась карточка с тремя — пятью нарисован­ными в ряд пуговицами, указывался прием движения правой ру­кой слева направо. Дети повторяли это движение на своей кар­точке, как бы обследуя данное направление. Затем им указыва­лось, что пуговицами надо закрыть все рисунки, не пропуская ни одного. Этот прием оказался вполне доступным детям уже на третьем году жизни, а в некоторых случаях даже на втором году (1 год 6 мес.). Особую роль при этом играет последова­тельность движения руки и сле'д я щи х за нею и рисунками глаз ребенка. То и другое способ­ствует развитию видения элементов множества. В результате по­добных упражнений все дети к трем годам свободно овладевают приемом наложения и воспроизводят множество соответственно предъявленному им образцу (см. гл. IX).

Следующим приемом, еще более значимым для развития уме­ний воспринимать количественную сторону элементов множества, является прием приложения. Однако предварительное изучение возможностей детей в усвоении этого приема вскрыло ряд его особенностей.

Прием приложения более сложный для детей, чем прием нало­жения, так как он требует более четкой дифференцировки элемен­тов внутри множества и большей самостоятельности. Дети, кото­рые хорошо овладели приемом наложения, испытывают значи­тельные затруднения, когда им предлагается на нижней полоске под нарисованными на карточке пуговицами разложить такое же количество пуговиц, что на образце. Малыши до двух лет шести месяцев раскладывают пуговицы, прижимая их друг к другу и не обращая внимания на количество, нарисованное на карточке.

Даже на четвертом году жизни из детей, хорошо владеющих приемом наложения, примерно лишь одна треть пользуется при­емом приложения. Испытывают затруднения в овладении этим умением даже дети на шестом году жизни (рис. 2).

О	о	о	о
о	о о	о о	о

Как же ведут себя дети при наличии множества, расположен­
ного не линейно, а в виде числовой фигуры? Дети до трех лёт
почти не принимают этого задания, если даже инструкция сопро­
вождается показом того, как
надо делать. Часть детей трех
лет все же пытается подложить
пуговицы, но делает это своеоб­
разно: они выкладывают пуго­
вицы вокруг всей карточки, при
этом тесно прижимают их друг
к другу (рис. 3). Между тем
почти все дети владели при-
Рис. 2. емом наложения.

о о о о

		о
О	о	о о
		о
о	о	о
	5 -- .	о

о о о о Рис, 3. j, ,. .:.. о о

Следует отметить, что малышей
аятоудняет не только сам прием, но
и смысл слов подложить, приложить
'некоторые дети прятали взятые
„ми пуговицы под карточку). Отсю­
да с тедует вывод, что детям второго
f третьего года жизни необходимо
поэтически разъяснять различия
смысла слов наложить, приложить,
подложить. „

о

о о

о о

о

о о Рис. 4. О О

Даже старшие дети (пять лет;, выполняя задание уложить на по­лоске столько пуговиц, сколько их бьпо в числовой фигуре, расклады­вают их или вокруг четырех сторон квадрата, или вокруг трех сторон, или по двум сторонам., или констру­ируют форму числовой фигуры пря­мо на столе, причем не в равном количестве (рис. 4 и 5). Внимание детей сосредоточивается на самом способе нового действия приложе­ния, а восприятие количества вытес­няется.

о о

о о

В чем же общая причина затруд­нений в овладении способом прило­жения элементов одного множества к элементам другого и почему имен­но этот способ является наиболее значимым в формировании количе­ственного восприятия множества?

о о Рис. 5.

Чтобы подложить в совокупности пуговиц одну пуговицу под другой, необходимо дифференцировать про­странственные отношения между всеми элементами множества, точно воспринять их количество как при линейном расположении, так и в виде числовой фигуры.

Почему же дети сравнительно легко овладевают приемом наложе­ния при восприятии тех же мно-

ния при восприятии тех же мно­жеств? Решая задание способом наложения, ребенок накладыва­ет пуговицу на ее изображение, закрывает ее, и ведущими для не­го являются сами изображения; пространственные же отношения между нарисованными пуговицами не играют в решении данного задания еще существенной роли, и ребенок не замечает их. Ему важно последвоательно закрыть все рисунки совокупности. Та-

3 А. М, Лсушина

ким образом, прием наложения способствует, с одной стороны, формированию представления о множестве как структурно зам­кнутом целом, а с другой — усиливает внимание детей к тому, что множество состоит из отдельных элементов. Общее же коли­чество элементов еще мало интересует ребенка.

В чем же причина затруднений при подкладывании элемен­тов, какие новые задачи возникают перед ребенком при овладе­нии данным способом? Ребенку надо точно воспроизвести то ко­личество элементов, которое образует данное множество. Для этого необходимо воспринять не только изображения пуговиц, но и пространственные отношения между ними. Только при этом условии можно выделить количественную сторону множества. Учитывать же расстояния между изображениями ребенок еще не научился. Если при наложении ребенок руководствуется са­мим изображением, то для использования приема приложения он должен подняться на новый уровень восприятия множества — научиться видеть пространственные отношения между рисунка­ми, т. е. элементами внутри множества, что подведет его к точ­ному количественному их восприятию.

Не владея еще умением анализировать пространственные от­ношения между.элементами как при линейном их расположении, так и в числовой фигуре, ребенок заполняет площадь в границах множества, тесно прижимая пуговицы друг к другу, а тем самым воспроизводит неадекватное образцу количество. И если в про­цессе обучения на пространственную дифференцировку элемен­тов внутри множества не обращается должного внимания, то отсутствие такой дифференцировки влечет за собой значитель­ные ошибки в восприятии количественной стороны совокупности даже на том этапе, когда ребенок, казалось бы, научился счи­тать с помощью слов-числительных. Приведем один из многочис­ленных примеров такого поведения.

Юра П. 5 лет 1 мес. Юра свободно называет числительные до 13. На предложенной карточке он считает семь пуговиц, расположенных в ряд, за­тем отсчитывает пуговицы по одной, укладывая их в ряд на нижней полоске, не руководствуясь, однако, тем, чтобы пуговицы точно располагались под их рисунками 1:1. Положив шесть пуговиц, Юра останавливается, считая зада­ние законченным, поскольку он заполнил, как ему кажется, всю площадь в границах множества. Когда по просьбе воспитательницы он пересчитывает оба множества, то обнаруживает свою ошибку, так как не слышит соответствия при назывании последних числительных в обоих множествах. В процессе пе­ресчитывания Юра случайно несколько отодвинул пуговицы. Увидев свобод­ное место под последней пуговицей образца, он еще теснее сдвинул их и до­бавил еще две пуговицы. Уже по собственной инициативе Юра пересчитал снова обе совокупности и вновь убедился в том, что сделал неверно. «Fie так»,— говорит Юра. Он вновь еще теснее .сдвигает пуговицы, добавляя одну. На образце семь пуговиц, а у него девять. Пересчитав снова, говорит: «Не­верно у меня. Не получается что-то, еще передвинуть надо». Сдвинув еще теснее, он добавил еще одну, десятую, пуговицу и вновь убедился, что сделал неверно. «Что-то опять не получается. Вот работу потруднее дали. Но ведь получится как-то». Попытку помочь Юра решительно отверг: «Я сам. Потруд­нее работу дали, чтобы гадать. Как же это?» — раздумывает Юра. «А ты по-

пообуй наложить пуговицы на кружки»,—советует все же педагог. Юра вое-пользовался советом. «Семь! — обрадовался он.— Вот сколько лишних я взял. Не получилось. Лишние пуговицы были».

Таким образом, только при наводящем указании Юра смог сопоставить элементы одного множества с элементами другого, один к одному.

Выполняя задание воспроизвести множество, расположенное в виде чис­ловой фигуры, и трансфигурировать его линейно, Юра сосчитал на карточке пять пуговиц затем взял пуговицы по одной, не считая, и разложил по две пуговицы по трем сторонам квадрата: верхней, правой и нижней. Юра внима­тельно смотрит на выложенные им пуговицы, сопоставляет их одна с другой, рассуждает при этом вслух: «Эта к этой, эта не к этой идет, а к этой» и т. д., потом снимает одну пуговицу и пересчитывает оба множества. Но он не слы­шит при счете в последних называемых числительных соответствия. «Как же это правильно сделать?» Вновь сопоставляет элементы один к одному. «Эта к этой, эта к этой (пауза), так, эта не к этой идет, а к этой»,— рассуждает вслух Юра. Вновь все считает и радостно заявляет: «Здесь пять и здесь пять,

теперь верно».

о о о

о о

О о

Итак, Юра не усвоил еще подлинного значения счета; он знает лишь од­но: равенство множеств бывает тогда, когда последние числительные при их назывании совпадают, а когда он не слышит этого совпадения, считает, что допустил какую-то ошибку, но в чем она состоит, для него остается неясным. Это можно продемонстрировать еще на одном примере.

Рис. 6.

Юра считает семь кружков, выложенных на карточ­ке, как показано на рис. 6, и ошибается, говоря «шесть». «Ты неверно считал».— «Нет, все верно»,— возражает Юра, однако вновь пересчитывает: «Ой, нет, не все вер­но. Семь». Юра начинает раскладывать пуговицы вокруг формы, но педагог напоминает ему, что надо раскладывать в ряд. Юра кладет пуговицы одна за дру­гой, называя числительные, но считает не пуговицы, а свои движения. Например, положив четвертую пуго­вицу в ряд, говорит «пять», так как, взяв ее из

коробки, сказал «четыре». Выложив еще одну пуговицу и назвав число шесть, Юра говорит: «Все», считая задание выполненным; он уже забыл количество пуговиц на карточке. «Посчитай, верно ли ты положил». Юра считает кружки на карточке, но пропускает один и говорит, что кружков шесть. Снова пере­считав, он находит, что их семь: «Семь, а эту я забыл. Ой, чего это я все за­бываю!» Еще раз считает рисунки пуговиц и убеждается, что их семь. «Семь»,— утверждает он и начинает считать выложенные им пуговицы. «Шесть,— гово­рит он,— опять неверно». Подумав, добавляет одну пуговицу и заявляет до­вольный: «Теперь уже семь. Вот какую трудную задачу даете».

На что же следует обратить особое внимание, анализируя поведение детей? Счетом дети пользуются не как средством определения количества элементов множества: называя числи­тельные по порядку, они ждут, когда появится в этой цепочке слово-числительное, то, которое будет соответствовать по зву­чанию числительному, названному при счете другой совокуп­ности. Тем самым число для этих детей не является еще показа­телем количества элементов множества. Констатируя при пере­считывании двух множеств их несоответствие, дети обнаруживают его лишь по разноименному звучанию последних слов-числи­тельных. Дети эти не владеют еще в подлинном смысле дея­тельностью счета как деятельностью установления взаимно-од­нозначного соответствия между предметами и числами нату-

рального ряда. Они легко сбиваются при счете, небреж­но соотносят слова-числительные с объектами совокупности: то пропускают слова-числительные, то пропускают объекты при счете, то сразу называют два числительных, соотнеся с ними один объект. Дети, казалось бы, проявляют активность в счете, однако они еще не поднялись до уровня понимания значения счета.

Приведенный пример свидетельствует, что дети преждевре­менно перешли к счетной деятельности с помощью слов-числи­тельных. У них не сформировалось еще четкое восприятие всех элементов множества. Они не научились практически сравни­вать множества, сопоставляя их элементы один к одному. Отсут­ствие этих знаний не позволило им четко усвоить операцию сче­та «..подняться к более глубокому пониманию значения числа как показателя равночисленное™ множеств. Естественно, что для этих детей остается неясным и значение последовательности чисел, которую они легко нарушают, поскольку . запоминание порядка слов-числительных у них сформировалось лишь на ос­нове речедвигательных ассоциаций.

Приведенные факты свидетельствуют об огромной важности
и значении формирования представлений о множестве и о раз­
личных операциях с множествами еще в дочисловой период обу­
чения. Отсюда следует сделать вывод: необходимо у ж ее
раннего возраста не только учить детей разли­
чать «много и один», но и формировать пред­
ставление о множестве как структур но-цел ост-
ном единстве, а также четкое восприятие от­
дельных элементов, образующих множество.
Все это и будет подводить ребенка к умению считать элементы
множества с помощью слов-числительных. Предварительная ра­
бота с множествами позволит детям в последующем скорее и
глубже осмыслить понятие числа и овладеть деятельностью счета.
Значение операций ^{же в} дочисловой период могут проводиться
с множествами различные операции с множествами. Выше
в дочисловой указывалось на тенденцию восприятия детьми

множества как единого целого, если все его элементы качественно однородны. Если такая тенденция являет­ся вполне оправданной в период перехода от восприятия мно­жественности к восприятию множества как структурно-целостно­го единства (в 2—4 года), то позднее она становится препят­ствием к дальнейшему развитию. Например, на столе лежат че­тыре рыбки и в коробке — шесть рыбок. Ребенок шести лет воспринимает их только раздельно. На вопрос, сколько всего ры­бок, он отвечает, что, если из коробки выложить на стол и ос­тальные рыбки, их будет десять. Или другой пример: девочка на­рисовала по обе стороны реки по два домика. На вопрос, сколько всего домиков по обе стороны реки, она ответила: если эти два домика перенести на другую сторону, тогда их будет четыре.

Различное пространственное расположение элементов множества мешает восприятию их в единстве.

Поэтому необходимо предлагать детям производить различ­ные операциис множествами: составлять единое множество из двух групп, каждая из которых обладает своими качественными особенностями, несущественными для всего множества в целом. Например, объединить несколько красных и синих флажков в единое множество флажков или, наоборот, разделить единое множество (кружков) на подмножества по тому или иному при­знаку (цвета, размера, формы, вида и др.). Таким образом, одно и то же множество, составленное по родовому признаку, может быть упорядочено в подмножества по разным признакам. И все эти выделенные подмножества могут сопоставляться, сравни­ваться друг с другом, при этом выявляться количественные от­ношения между ними, равенства, неравенства, не выражаемые еще числом.

Обследования, проведенные среди первоклассников, показа­ли, что далеко не все дети, перешедшие из детского сада в шко­лу, умеют упорядочивать множества по разным признакам, по­нимать различные отношения между ними.

Из этого вытекает следующий вывод: на протяжении всего дошкольного возраста необходимо работать с детьми над мно­жествами. Особое внимание уделять формированию представле­ний о множестве как структурно-целостном единстве и в то же время учить видеть каждый отдельный элемент множества. При этом нет необходимости спешить обучать детей счету с помощью слов-числительных. Значительно важнее научить детей приемам поэлементного сравнения двух множеств, установления соответ­ствия между их элементами. В среднем и старшем дошкольном возрасте целесообразно обучать различным операциям с множе­ствами, учить сравнивать множества, обладающие разными ка­чественными признаками, видеть равенство и неравенство мно­жеств как практически (вне счета), так и обучая счету с помо­щью слов-числительных.