Численное решение нелинейного уравнения

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

F(x) = 0. (1.1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия. Решить уравнение – это найти x* Ì R : F(x*) = 0.

Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация такой ситуации представлена на рис. 2. Корнями уравнения (1.1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция F(x) пересекает ось x.

Необходимое условие существования корня уравнения (1.1) и достаточное условие единственности следуют из известной теоремы Больцано–Коши. Пусть F(x) непрерывна и F(a)F(b) < 0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения F(x) = 0. Корень будет единственным, если F′(x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. F(x) – монотонная функция (рис.2).

Рис. 2 Геометрическая иллюстрация уравнения (1.1)

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root (рис. 3).

Рис. 3 Решение нелинейных уравнений средствами Mathcad

Функция root( f(х1, x2, …), х1, a, b )

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы:

f(х1, x2, …) — функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 — - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b — необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

1. Известны из физического смысла задачи.

2. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

3. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 — это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением:

f₁(x)=f₂(x),

где функции f1(x) и f2(x) — более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения:x lg x = 1 (1)

Уравнение (1) удобно переписать в виде равенства:

Отсюда ясно, что корни уравнения (1) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (1) или определим его содержащий отрезок [2, 3] (рис. 4).

Рис. 4 Решение уравнений средствами Mathcad