Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая l задана уравнениемАх+Ву+С=0, точка М₀(х₀,у₀). Расстояние от точки М₀(х₀,у₀) до прямой l определяется как

.

Примеры решения типовых задач

1. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b=-3 и составляющей с осью Ох угол 60˚.

Решение:

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом y=kx+b. По условию b=-3, а k=tgα=tg60˚=Ö3. Итак, у= х-3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: у= х-3.

2. Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) 3х+4у=12;

2) 2х+3у=0;

3) у=-2;

4)

Решение:

1) 3х+4у=12; 2) 2х+3у=0; 3) y=-2; 4) ;

4у=12-3х; 3y=-2x; k=0, b=-2. ;

у= ; y= ; y=4- ;

y= ; k= , b=0. y=- ;

y= ; k= , b=4.

k= , b=3.

Ответ: 1) k= , b=3; 2) k= , b=0; 3) k=0, b=-2; 4) k= , b=4.

3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника.

Решение:

Воспользуемся способом задания прямой по 2-м точкам:

АВ: ; BC: ; AC: ;

; ; ;

. . .

Ответ: АВ: ; ВС: ; АС: .

4. Дана прямая 2х+3у-3=0 и точка М₀(1;-2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀: а) параллельно заданной прямой; б) перпендикулярно заданной прямой.

Решение:

1-й способ.

а) Условие параллельности двух прямых k₁=k₂.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₂x+b₂; 3y=3-2x; y= ; k₁= Þk₂= ; у= b₂. Так как М₀(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 1+b₂Þb₂=-2+ , b₂= . Итак, y= Û3у+2х+4=0.

б) Условие перпендикулярности двух прямых k₁k₃=-1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₃x+b₃;k₁= Þk₃ Þk₃= ; y= x+b₃. Так как М₀(1;-2) принадлежит прямой, то -2= 1+b₃Þb₃=-2 Þb₃= .

Итак, Þ3x-2у-7=0.

2-й способ.

l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6pA0bQlxKlSJCxyAwgc4yZJE2OsQu6n79ywnuM1oRrNvy120 Rsw4+cGRgttlAgKpce1AnYKP98ebLQgfNLXaOEIFZ/Swqy4vSl207kRvOB9CJ3iEfKEV9CGMhZS+ 6dFqv3QjEmefbrI6sJ062U76xOPWyDRJ1tLqgfhCr0fc99h8HY5WwdPL6+KcxvXie5PX+zhvTXz2 Rqnrq/hwDyJgDH9l+MVndKiYqXZHar0w7LOU0QOL1R0ILmRpvgJRK9hkOciqlP8/qH4AAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAF3PNyvIBAADqAwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAdpYf698AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABMBAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFgFAAAAAA== " strokecolor="black [3040]"/>

.

М0(1;-2)

Рис.2

а) Из общего уравнения прямой 2х+3у-3=0 определяем координаты вектора нормали . Если искомая прямая параллельна заданной, то вектор будет являться нормалью и к искомой прямой (рис.2). Мы имеем нормаль и точку М₀(1;-2), через которую проходит искомая прямая, поэтому используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀,у₀) перпендикулярно вектору . А(х-х₀)+В(у-у₀)=0, 2(х-1)+3(у+2)=0, 2х+3у+4=0.

б) Если искомая прямая l₁ (рис.3) перпендикулярна заданной l, то вектор будет параллелен прямой l₁, и мы возьмем его в качестве направляющего вектора искомой прямой .

l

l1

2х+3у-3=0

.

М(1;-2)

Рис.3

Используем уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀,у₀) параллельно вектору . . У нас . ; 3х-3=2у+4, 3х-2у-7=0.

Ответ: 2х+3у+4=0, 3х-2у-7=0.

2. Найти расстояние от точки М₀(2;-1) до прямой 3х+4у-22=0.

Решение:

; х₀=2; у₀=-1.

А=3; В=4; С=-22.

.

Ответ: 4.