Скалярное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: =| ||

|

=

k( )= = (k = = )

Работа силы F на перемещение S А=

Вычисление в прямоугольных координатах: если , то .

Скалярное произведение ортов =0 =1

Примеры решения типовых задач

1. Даны векторы =3 и . Найти: а) ;

б) ; в) .

Решение:

а) =3∙2+(-1)3+2(-1)=6-3-2=1;

б) ;

в) .

Ответ: а) 1; б) ; в) .

2. Даны векторы {3;-1;4}, {-2;2;2}. Проверить, являются ли они ортогональными.

Решение:

=3∙(-2)+(-1)2+4∙2=-6-2+8=0. Следовательно, векторы ортогональны.

3. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Решение:

А= . Найдем координаты вектора = :

{4-2;2-4;7-6};

={2;-2;1}.

Найдем работу А:

А=3∙2+2(-2)+4∙1=6-4+4=6.

Ответ: 6.

4. Найти длины диагоналей параллелограмма (рис.1), построенного на векторах , где =60˚.

Рис.1

Решение:

Выразим диагонали параллелограмма и по правилу

параллелограмма: ,

.

Так как векторы не единичные, следовательно, заданы в произвольном базисе, то и можно найти по определению:

=

= .

=

= .

Ответ: = .

A. Векторное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Площадь треугольника S=

Векторным произведением двух векторов называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и и направлен так, что кратчай-ший поворот от к видится против часовой стрелки

=

Вычисление

Условие коллинеарности

Момент силы , в точке А относительно точки О:

)= = k( )

Примеры решения типовых задач

1. Раскрыть скобки и упростить выражение:

а) ;

б) (2 .

Решение:

а) +

=2

б) (2 =2

.

2. Даны векторы и . Найти .

Решение:

.

Ответ: .

3. Найти площадь ∆АВС, если А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

Решение:

S_∆АВС= . Найдем координаты векторов :

{3-1;0-2;-3-0}={2;-2;-3};

{5-1;2-2;6-0}={4;0;6}.

Найдем векторное произведение :

= .

.

S_∆АВС= .

Ответ: .

4. Сила приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее

момент относительно начала координат.

Решение:

. Найдем координаты вектора : О(0;0;0), М(2;-1;1), следовательно, {2;-1;1}.

=

= .

Ответ: .

Смешанное произведение трех векторов

Свойства

Определение

Применение

=

Объем параллелепипеда V=

Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида ( =

, , то

Объем пирамиды V=

Условие компланарности трех векторов: =0

= = = = = =

Примеры решения типовых задач

1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки

А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); D(3;0;-2).

Решение:

. Найдем координаты векторов :

;

;

.

.

=4.

Ответ: 4.

2. Доказать, что векторы =2 , и компланарны.

Доказательство:

,следовательно, компланарны.

3. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), D(5;0;6) в одной плоскости.

Решение:

Для того чтобы доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, нужно доказать, что векторы компланарны. Найдем координаты векторов :

{1-2;2-(-1);1-(-2)}={-1;3;3};

{2-2;3-(-1);0-(-2)}={0;4;2};

{5-2;0-(-1);6-(-2)}={3;1;8}.

Проверим компланарность векторов :

, следовательно, векторы не компланарны, таким образом, точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

4. Даны координаты вершин пирамиды А(1;2;-3), В(1;0;-1), С(2;4; -6), D(0;-1;3). Найти а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в) ; г) .

Решение:

а)V_АВСD= . Найдем координаты векторов :

{1-1;0-2;-1(-3)}={0;-2;-2};

{2-1;4-2;-6-(-3)}={1;2;-3};

{0-1;-1-2;3-(-3)}={-1;-3;6}.

Найдем смешанное произведение :

=2(6-3)=2(-3+2)=6-2=4.

Итак, V_АВСD= (куб.ед.).

б) S_∆АВС= . Найдем векторное произведение векторов :

.

.

S_∆АВС= (кв.ед.)

в) .

Найдем скалярное произведение векторов :

=0∙1+(-2)2+2(-2)=0-4-6=-10.

Найдем длину | |= .

Итак, .

г) .Найдем скалярное произведение :

=1(-1)+2(-3)+(-3)6=-1-6-18=-25.

Найдем длину :

| |= . Значит, .

Ответ: а) 2/3 куб.ед.; б) кв.ед. в) ; г) .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Найти длину вектора , если: С(1;-3;4), D(0;-2;1).

Ответ: | |= .

2. Найти длину радиус-вектора точки М(2;-3;6).

Ответ: 7.

3. Найти длину вектора , если {2;-1;0}, {3;-1;4}.

Ответ: .

4.Найти направляющие косинусы вектора , если А(3;-5;4); D(2;-1;0).

Ответ: cosα= : cos = : cosγ= .

5. Даны векторы =2 и . Найти: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 5; б) 5/9; в) .

6. Даны векторы . Проверить, являются ли они ортогональными.

Ответ: не являются.

7. Вычислить работу силы , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в положение М(1;-1;3).

Ответ: 16.

8. Раскрыть скобки и упростить выражение:

1) ;

2) .

Ответ: 1) 2 ; 2) 3.

9. Даны векторы и . Найти .

Ответ: .

10. Найти площадь параллелограмма АВСD, если его вершины А(3;-2;4), В(0;-1;6), С(1;-3;6), D(1;-1;0).

Ответ: .

11. Сила приложена в точке А(1;-1;0). Найти ее момент относительно точки В(2;-1;3).

12. Проверить компланарность векторов ,

, .

Ответ: компланарны.

13. Даны координаты вершин пирамиды А(4;4;10), В(7;10;2), С(2;8;4), D(9;6;9).

Найти: а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в) ; г) .

Ответ: а) 4; б) ; в) ; г) .

14. Найти угол между векторами , где единичные векторы и угол между ними равен 120˚.

Ответ: -1/2.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая линия на плоскости

Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Простейшей из линий является прямая.

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).

Таблица 1

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечания
	Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b	k – тангенс угла a наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY	a≠π/2
	Общее уравнение прямойАх+Ву+С=0	А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N	А,В не равны нулю одновременно
	Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-ленииу-у0=k(х-х0 )	т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой	При различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0)
	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки	-
	Уравнение прямой в отрезках на осях х	а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно	а≠0, b≠0
	Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору	т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора)	Такое уравнение часто называют каноническим
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечания
	Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0	т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой

Угол между двумя прямыми

Пусть прямые l₁и l₂ заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: l₁: y=k₁х+b₁, l₂:y=k₂x+b₂, тогда острый угол между двумя прямыми определяется его тангенсом по формуле

.

Если прямые l₁и l₂ заданы общими уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, то угол между ними можно найти как угол между их нормальными векторами

.

В случае задания прямых своими каноническими уравнениями

угол между прямыми находится как угол между направляющими векторами прямых

.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых (табл. 2)

Таблица 2

№ п/п	Способ задания прямых	Условие параллельности прямых	Условие перпендикулярности прямых
	l1: y=k1х+b, l2: y=k2x+b2	k1=k2	k1k2= -1
	l1: А1х+В1у+С1=0 l2: А2х+В2у+С2=0		A1A2+B1B2=0
	l1: l2:		m1m2+n1n2=0