Основы теории комплексных чисел

Студент должен:

знать:-определение мнимой единицы;

- определение комплексного числа;

- формы комплексного числа;

-действия над комплексными числами;

- геометрическую интерпретацию комплексных чисел.

уметь: - вычислять степени мнимой единицы;

- переходить от одной формы записи комплексного числа к другой;

- выполнять действия над комплексными числами в алгебраической ,

тригонометрической и показательной формах ;

- изображать комплексное число в виде вектора.

Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Показательная форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Методические указания.

Данную тему рекомендуется начать с определения мнимой единицы и степеней мнимой единицы. Далее необходимо определить комплексное число в алгебраической форме. Изучить арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме. Перед изучением деления вводится понятие комплексно- сопряженного числа. Через геометрическую интерпретацию вводится тригонометрическая форма комплексного числа. Далее необходимо выделить алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме. В тригонометрической форме изучить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Перед введением показательной формы необходимо изучить формулы Эйлера. Отработать технику перехода от тригонометрической формы в показательную форму, показательной формы в тригонометрическую форму и алгебраическую форму. Перед изучением действий в показательной форме нужно повторить действия над степенями.

Вопросы для самоконтроля.

1.Дайте определение мнимой единицы.

2. Сформулируйте алгоритм вычисления степени мнимой единицы.

3. Дайте определение комплексного числа.

4.Что называют действительной (мнимой) частью комплексного числа?

5. Когда комплексные числа равны?

6. Как складываются комплексные числа?

7. Как найти разность комплексных чисел?

8. Как умножаются комплексные числа?

9. Какие числа называются комплексно-сопряженными?

10. Как изобразить комплексное число на координатной плоскости?

11. Что такое аргумент, модуль комплексного числа?

12. Как перейти из алгебраической формы в тригонометрическую форму?

13. Какие действия выполняем над комплексными числами в тригонометрической форме? Каким образом (формулы)?

14. Как записываются формулы Эйлера.

15. Сформулируйте правило перехода из тригонометрической формы в показательную форму.

16. Сформулируйте правило перехода из алгебраической формы в показательную форму и обратно.

17. Сформулируйте правила действия над комплексными числами в показательной форме.

Раздел 3

Основные понятия и методы математического анализа

Тема3.1 Функции, пределы, непрерывность

Студент должен:

знать:-определение функции;

- область определения и область значения функции;

-основные свойства функции;

-определения предела функции;

- замечательные пределы;

- непрерывность и точки разрыва функции..

уметь: - находить область определения функции;

- определять основные свойства заданной функции;

- вычислять предел функции ;

- раскрывать неопределенности;

- исследовать функцию на непрерывность и квалифицировать точки

разрыва;

Определение функции. Область определения и область значения функции. Четность нечетность функции. Промежутки знакопостоянства функции. Промежутки монотонности функции. Точки пересечения с координатными осями.

Определения предела функции. Односторонние пределы. Теоремы о пределах функции. Неопределенности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Два замечательных предела. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей.

Непрерывность и точки разрыва функции.

Методические указания.

При изучении данной темы сначала рассматривают определение функции, ее свойства на примерах элементарных функций, затем уже обобщают понятия. Определение предела функции и его смысла рассматривать лучше графически. Для вычисления пределов и раскрытия неопределенностей используют алгебраические преобразования и эквивалентные функции, а так же два замечательных предела.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение функции.

2. Дайте определение области определения и области значения функции.

3. Как исследовать функцию на четность нечетность?

4. Как найти точки пересечения с координатными осями?

5. Что такое промежутки знакопостоянства и монотонности функции?

6. Дайте определение предела функции.

7. Как находят левый и правый пределы функции?

8. Сформулируйте теоремы о пределах функции и следствия из них.

9. Что такое неопределенность. Какие неопределенности знаете?

10. Дайте определения бесконечно больших и бесконечно малых функции.

11. Какими свойствами они связаны?