Основы теории комплексных чисел

По данной теме сначала изучите главу 3 §12-17 учебника [ 3]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Комплексными числами называются числа вида Основы теории комплексных чисел - student2.ru , где a и b – действительные числа, а число i, определенное равенством Основы теории комплексных чисел - student2.ru , называется мнимой единицей. Для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru называются равными, если Основы теории комплексных чисел - student2.ru = Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru = Основы теории комплексных чисел - student2.ru ;

2) суммой двух комплексных чисел Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется комплексное число ( Основы теории комплексных чисел - student2.ru + Основы теории комплексных чисел - student2.ru )+( Основы теории комплексных чисел - student2.ru + Основы теории комплексных чисел - student2.ru )i;

3) произведением двух комплексных чисел Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется комплексное число ( Основы теории комплексных чисел - student2.ru Основы теории комплексных чисел - student2.ru - Основы теории комплексных чисел - student2.ru Основы теории комплексных чисел - student2.ru )+ ( Основы теории комплексных чисел - student2.ru Основы теории комплексных чисел - student2.ru + Основы теории комплексных чисел - student2.ru Основы теории комплексных чисел - student2.ru )i.

Запись комплексного числа в виде Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru , а действительное число b – мнимой частью.

Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

При а=0 комплексное число Основы теории комплексных чисел - student2.ru обращается в чисто мнимое число Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Комплексное число Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется комплексно сопряженным с числом Основы теории комплексных чисел - student2.ru и обозначается Основы теории комплексных чисел - student2.ru , то есть Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Комплексные числа вида Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru называются противоположными.

Модулем комплексного числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется число Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число: Основы теории комплексных чисел - student2.ru , причем Основы теории комплексных чисел - student2.ru тогда и только тогда, когда Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Комплексное число Основы теории комплексных чисел - student2.ru можно изображать точкой плоскости с координатами Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Основы теории комплексных чисел - student2.ru При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Основы теории комплексных чисел - student2.ru Каждой точке плоскости с координатами Основы теории комплексных чисел - student2.ru соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0, 0) и концом в точке М Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Поэтому комплексное число Основы теории комплексных чисел - student2.ru можно изобразить в виде вектора Основы теории комплексных чисел - student2.ru с началом в точке Основы теории комплексных чисел - student2.ru и концом в точке Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

I. Длина вектора Основы теории комплексных чисел - student2.ru равна Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

II. Точки Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru симметричны относительно действительной оси.

III. Точки Основы теории комплексных чисел - student2.ru и - Основы теории комплексных чисел - student2.ru симметричны относительно точки Основы теории комплексных чисел - student2.ru =0.

Основы теории комплексных чисел - student2.ru + Основы теории комплексных чисел - student2.ru
IV. Число Основы теории комплексных чисел - student2.ru геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru

Основы теории комплексных чисел - student2.ru

V. Расстояние между точками Основы теории комплексных чисел - student2.ru и Основы теории комплексных чисел - student2.ru равно Основы теории комплексных чисел - student2.ru

Основы теории комплексных чисел - student2.ru

Угол Основы теории комплексных чисел - student2.ru между действительной осью Ох и вектором Основы теории комплексных чисел - student2.ru , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru . Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки – отрицательной.

Аргумент Основы теории комплексных чисел - student2.ru комплексного числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru записывается так:

Основы теории комплексных чисел - student2.ru или Основы теории комплексных чисел - student2.ru

Для числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru аргумент не определен.

Аргумент Основы теории комплексных чисел - student2.ru комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число Основы теории комплексных чисел - student2.ru имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное Основы теории комплексных чисел - student2.ru . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка Основы теории комплексных чисел - student2.ru называется главным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует, что если Основы теории комплексных чисел - student2.ru , то имеют место равенства:

Основы теории комплексных чисел - student2.ru ; Основы теории комплексных чисел - student2.ru (*)

Справедливо и обратное утверждение, то есть, если выполняются оба равенства, то Основы теории комплексных чисел - student2.ru . Таким образом, все значения аргумента Основы теории комплексных чисел - student2.ru можно находить, решая совместно уравнения (*).

Значения аргумента комплексного числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru можно находить и так:

1) определить, в какой четверти находится точка Основы теории комплексных чисел - student2.ru (использовать геометрическую интерпретацию числа Основы теории комплексных чисел - student2.ru );

2) найти в этой четверти угол Основы теории комплексных чисел - student2.ru , решив одно из уравнений (*) или уравнение Основы теории комплексных чисел - student2.ru ;

3) найти все значения аргумента числа z по формуле Основы теории комплексных чисел - student2.ru .

Наши рекомендации