Задачи и методы классического вариационного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА

(Национальный исследовательский университет)»

Программа повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 годы

Ю.Н. Лазарев

СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Электронное учебное пособие

Самара, 2015

Содержание

Введение…………………………………………………………..…. 4

1. Классификация задач оптимизации………..…………………. 7

1.1. Статические задачи оптимизации ……………...….……….. 7

1.2. Динамические задачи оптимизации ………….…....……….. 8

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ

КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Необходимое условие экстремума функционала

Рассмотрим некоторый функционал Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и его приращение Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - вариация Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Определение. Вариацией функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , принадлежащей определенному классу функций, называется разность между двумя функциями при одинаковом значении аргумента Задачи и методы классического вариационного - student2.ru : Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Определение. Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru можно представить в виде

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , (2.4)

где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то линейная по отношению к Задачи и методы классического вариационного - student2.ru часть приращения функционала, т.е. Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , называется вариацией функционала и обозначается Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Функционал достигает экстремума при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , если величина приращения функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru сохраняет свой знак в некоторой окрестности Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Различают сильный и слабый экстремумы.

Если существует величина Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru сохраняет знак для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , входящих в пространство (класс) Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , у которых норма Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то говорят, что при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru достигается слабый экстремум функционала. Аналогично, экстремум называется сильным, если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru сохраняет знак для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и удовлетворяет условию Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Всякий сильный экстремум будет одновременно и слабым, а слабый сильным быть не может, так как достигается на более узком множестве функций.

Теорема. Для того, чтобы функционал Задачи и методы классического вариационного - student2.ru достигал экстремума при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , необходимо, чтобы при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Доказательство

Пусть функционал имеет минимум при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , тогда

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

С другой стороны Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

При достаточно малом Задачи и методы классического вариационного - student2.ru знак Задачи и методы классического вариационного - student2.ru определяется знаком Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , а в силу линейности Задачи и методы классического вариационного - student2.ru имеем: Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Следовательно, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru может быть и меньше и больше 0 при сколь угодно малом Задачи и методы классического вариационного - student2.ru разного знака, т.е. экстремум невозможен. Противоречие устраняется, если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Аналогично доказывается необходимое условие максимума функционала.

2.3. Простейшая задача вариационного исчисления

(задача с закрепленными концами). Основная лемма

Вариационного исчисления. Уравнение Эйлера

Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Лемма. Если для каждой непрерывной функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

где функция Задачи и методы классического вариационного - student2.ru непрерывна на отрезке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то Задачи и методы классического вариационного - student2.ru на том же отрезке.

Доказательство

Предположив, что в точке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , лежащей на отрезке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru следует, что если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то Задачи и методы классического вариационного - student2.ru сохраняет знак в некоторой окрестности Задачи и методы классического вариационного - student2.ru точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ; выбрав функцию Задачи и методы классического вариационного - student2.ru также сохраняющую знак в этой окрестности и равную нулю вне этой окрестности, получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

так как произведение Задачи и методы классического вариационного - student2.ru сохраняет знак на интервале Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Теорема. Для того, чтобы функционал

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

определенный на множестве непрерывных функций Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , достигал на Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремума, необходимо, чтобы функция Задачи и методы классического вариационного - student2.ru удовлетворяла уравнению Эйлера

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , (2.5)

или в развернутом виде

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.6)

Доказательство

Получим формулу для первой вариации функционала. Применяя операцию варьирования подынтегрального выражения при условии, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.7)

Проинтегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.8)

Но поскольку концы экстремали закреплены, то Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , и получаем необходимое условие экстремума в виде

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.9)

В силу основной леммы вариационного исчисления, поскольку Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , получаем результат (2.5).

Интегральные кривые уравнения Эйлера Задачи и методы классического вариационного - student2.ru называются экстремалями, только на них достигается экстремум рассматриваемого функционала. Чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.

Краевая задача для уравнения (2.6) с граничными условиями Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

Получим необходимые условия экстремума функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , зависящего от Задачи и методы классического вариационного - student2.ru независимых функций Задачи и методы классического вариационного - student2.ru :

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

при заданных граничных условиях всех функций

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,..., Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,..., Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если варьировать одну из функций Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , оставляя остальные неизменными, то рассматриваемый функционал превращается в функционал, зависящий лишь от одной функции, которая, следовательно, должна удовлетворять уравнению Эйлера

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Так как это рассуждение применимо к любой функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , (2.10)

определяющих Задачи и методы классического вариационного - student2.ru -параметрическое семейство интегральных кривых (экстремалей).

Поле экстремалей

Если на плоскости Задачи и методы классического вариационного - student2.ru через каждую точку некоторой области Задачи и методы классического вариационного - student2.ru проходит одна и только одна кривая семейства Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , говорят, что это семейство кривых в области Задачи и методы классического вариационного - student2.ru образует собственное поле. Угловой коэффициент касательной Задачи и методы классического вариационного - student2.ru к кривой семейства Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , проходящей через точку Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , называется наклоном поляв точке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru : Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Поле называется центральным, если кривые покрывают всю область Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и нигде не пересекаются кроме одной точки (центра пучка кривых), принадлежащей области Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экстремалей.

Говорят, что экстремаль Задачи и методы классического вариационного - student2.ru включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , образующее поле, содержащее при некотором значении Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремаль Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , причем последняя не лежит на границе области Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства Задачи и методы классического вариационного - student2.ru пересекаются в точках Задачи и методы классического вариационного - student2.ru -дискриминантной кривой, определяемой уравнениями

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если дуга Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремали Задачи и методы классического вариационного - student2.ru не имеет отличных от точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru общих точек с Задачи и методы классического вариационного - student2.ru -дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремали пучка не пересекаются, т.е. образуют в окрестности дуги Задачи и методы классического вариационного - student2.ru центральное поле, включающее эту дугу.

Если дуга Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремали Задачи и методы классического вариационного - student2.ru имеет отличную от точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru общую точку Задачи и методы классического вариационного - student2.ru с Задачи и методы классического вариационного - student2.ru -дискриминантной кривой пучка экстремалей, то близкие кривые пучка могут пересекаться между собой вблизи точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и, вообще говоря, поля не образуют. Точка Задачи и методы классического вариационного - student2.ru называется точкой, сопряженной с точкой Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и является точкой пересечения двух бесконечно близких кривых семейства Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Условие Якоби. Для построения центрального поля экстремалей с центром в точке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , содержащего дугу Задачи и методы классического вариационного - student2.ru экстремали, достаточно, чтобы точка Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , сопряженная с точкой Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , не лежала на дуге Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Изопериметрическая задача

Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.

В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более широкий класс задач, а именно, все вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

при наличии так называемых изопериметрических условий

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - постоянные, а Задачи и методы классического вариационного - student2.ru может быть больше, меньше или равно Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Рассмотрим следующую изопериметрическую задачу.

Среди всех кривых Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , удовлетворяющих условиям Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , на которых функционал

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

найти такую, которая дает экстремум функционалу

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Пусть Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru имеют непрерывные производные на отрезке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Предположим, что искомая кривая не является экстремалью Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , тогда имеет место теорема [1].

Теорема. Если кривая Задачи и методы классического вариационного - student2.ru обеспечивает экстремум функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и удовлетворяет условиям Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , но не является экстремалью Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то существует такое число Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru является экстремалью функционала

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.15)

Этот результат используется следующим образом. Составляется уравнение Эйлера для функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Получается дифференциальное уравнение второго порядка и находится его общее решение, которое содержит параметр Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий и условия Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Уравнение Гамильтона-Якоби

Рассмотрим центральное поле экстремалей с центром в точке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для функционала

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

На экстремалях поля функционал Задачи и методы классического вариационного - student2.ru превращается в функцию Задачи и методы классического вариационного - student2.ru координат второй граничной точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Воспользуемся выражением для вариации функционала (2.11)

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

(2.29)

С другой стороны Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Для точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru : Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , тогда

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.30)

Следовательно,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.31)

Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби.

В этом случае решение канонической системы равносильно решению дифференциального уравнения в частных производных относительно неизвестной функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru Задачи и методы классического вариационного - student2.ru (2.32)

с граничным условием Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

2.12. Вторая вариация функционала.

Необходимое условие слабого минимума функционала

Для нахождения необходимого условия слабого минимума функционала введем понятие второй вариации функционала. Функционал Задачи и методы классического вариационного - student2.ru имеет вторую вариацию, если его приращение можно представить в виде

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , (2.33)

где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - линейный относительно вариации функции Задачи и методы классического вариационного - student2.ru функционал (первая вариация функционала),

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - квадратичный относительно Задачи и методы классического вариационного - student2.ru функционал (вторая вариация функционала),

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - содержит члены высших порядков малости ( Задачи и методы классического вариационного - student2.ru при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ).

Теорема. Для того, чтобы функционал достигал своего минимума на кривой Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , необходимо чтобы выполнялись условия

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.34)

Доказательство

Пусть имеется кривая Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , которая неограниченно приближается к экстремали Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Это означает, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , т.е. кривые сближаются. Тогда Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , следовательно, знак Задачи и методы классического вариационного - student2.ru определяется знаком Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Это означает, что неотрицательность второй вариации обеспечивает минимум функционала.

Получим формулу для второй вариации функционала в задаче с закрепленными концами. Зададим функционал

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

с граничными условиями Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . В этом случае первая и вторая вариации функционала определяются формулами

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.35)

Интегрируя по частям среднее слагаемое в подынтегральном выражении формулы (2.35), получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Тогда с учетом граничных условий получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.36)

Получим условие, при котором Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru мала, то с учетом граничных условий мала и сама Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , а если мала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то Задачи и методы классического вариационного - student2.ru может быть не мала. Поэтому слагаемое Задачи и методы классического вариационного - student2.ru в выражении для Задачи и методы классического вариационного - student2.ru играет определяющую роль и знак второй вариации функционала определяется знаком Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Следовательно, необходимым условием минимума функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru является условие

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (2.37)

Это условие называется условием Лежандра.

Замечание. Для случая функционалов, зависящих от Задачи и методы классического вариационного - student2.ru функций Задачи и методы классического вариационного - student2.ru условие Лежандра сводится к требованию положительной определенности матрицы

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Условие Лежандра, как и условие Эйлера, носит локальный характер, т.е. относится не к кривой в целом, а к ее отдельным точкам и поэтому не является достаточным для экстремума.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Рис.3.1. Вариации управления

Влияние игольчатого варьирования управления на поведение системы аналогично влиянию короткого импульса (рис. 3.2). Степень влияния импульса определяется площадью Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Поскольку эта величина при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru становится бесконечно малой, то ее влияние на дальнейшее движение системы бесконечно мало. Малость возмущения позволяет использовать линеаризацию, что упрощает решение задачи, а также рассматривать вариации управления в разные моменты времени независимо друг от друга.

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

Рис.3.2. Влияние игольчатого варьирования управления

на поведение системы

Свойства гамильтониана

На оптимальной траектории гамильтониан обладает следующими свойствами.

1. Гамильтониан Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - непрерывная функция времени для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Это свойство очевидно для любого Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , не совпадающего с точками разрыва управления Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Пусть Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - одна из точек разрыва. Рассмотрим значения Задачи и методы классического вариационного - student2.ru слева и справа от точки Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . В силу непрерывности по времени Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru можно записать

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Предположим, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Возможны два случая: Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru или

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

И то и другое противоречит основной теореме принципа максимума, согласно которой гамильтониан всегда принимает максимальное значение. Следовательно, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то есть функция Задачи и методы классического вариационного - student2.ru непрерывна.

2. Гамильтониан постоянен на оптимальной траектории, т.е. Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Рассмотрим некоторый отрезок Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , на котором функция Задачи и методы классического вариационного - student2.ru непрерывна. Для любых Задачи и методы классического вариационного - student2.ru в силу основной теоремы принципа максимума

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

и поэтому

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

При Задачи и методы классического вариационного - student2.ru получаем неравенство

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Правая часть равна нулю, что следует из канонической системы уравнений. Следовательно,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (3.16)

Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то аналогично можно получить, что

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . (3.17)

Из (3.16) и (3.17) следует, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , т.е. Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . В силу непрерывности Задачи и методы классического вариационного - student2.ru по времени Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

3. Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru свободно, то Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Проварьируем управление в конечный момент времени Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , изменив величину Задачи и методы классического вариационного - student2.ru на бесконечно малую величину Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и сохранив при этом величину Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . В отличие от игольчатой такая вариация называется временной вариацией управления. Видно, что вариация траектории Задачи и методы классического вариационного - student2.ru с точностью до малых высшего порядка будет равна

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Умножив на Задачи и методы классического вариационного - student2.ru с учетом (3.9), получим

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Т.к. Задачи и методы классического вариационного - student2.ru может быть положительным и отрицательным, то

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Гамильтониан на всей оптимальной траектории постоянен, поэтому

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

для всех Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

С квадратичным функционалом

1. Задача программирования оптимального управления

Рассмотрим линейную динамическую систему

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - матрицы порядков Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , зависящие от времени, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - фиксировано, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - не ограничено.

Критерий оптимальности зададим в виде

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

где Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - положительно определенные матрицы порядков Задачи и методы классического вариационного - student2.ru и Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , зависящие от времени.

Для определения оптимального управления Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , минимизирующего функционал Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , используем принцип максимума, Составим гамильтониан Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Оптимальное управление определим из условий максимума Задачи и методы классического вариационного - student2.ru :

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Второе условие выполняется, поскольку Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - положительно определенная матрица. Следовательно, в соответствии с первым условием оптимальный закон управления имеет вид программы

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Каноническая система уравнений принимает вид

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Получили краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений.

2. Задача синтеза оптимального управления

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления системой

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

из условия обращения в минимум критерия оптимальности

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Полагаем, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - матрицы, зависящие от времени, причем Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - положительно определенные, Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - фиксировано.

Как и в предыдущей задаче в соответствии с принципом максимума оптимальное управление определяется зависимостью

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Каноническая система уравнений имеет также прежнюю структуру, но другие граничные условия:

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если решение второго уравнения искать в виде Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , то для матрицы Задачи и методы классического вариационного - student2.ru можно получить уравнение, которое позволит найти ее непосредственно:

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Это уравнение представляет собой нелинейное матричное дифференциальное уравнение Риккати. Определив Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , получим закон оптимального управления:

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Если Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru не зависят от времени, то при достаточно большом Задачи и методы классического вариационного - student2.ru можно говорить об «установившемся» режиме. В этом случае полагается Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Тогда матрица Задачи и методы классического вариационного - student2.ru является постоянной и определяется из линейного матричного алгебраического уравнения:

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Решение этого уравнения можно рассматривать как предел решения дифференциального уравнения Риккати при Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , если он существует.

Связь принципа максимума

Уравнение Беллмана

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, сформулированный Р.Беллманом: оптимальный процесс обладает тем свойством, что каким бы ни было начальное управление последующее управление должно быть оптимальным по отношению к состоянию, происходящему от начального управления.

Предположим, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - оптимальная траектория, приводящая систему из начального состояния Задачи и методы классического вариационного - student2.ru в конечное Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , промежуточное состояние Задачи и методы классического вариационного - student2.ru соответствует моменту времени Задачи и методы классического вариационного - student2.ru (рис.4.1). Согласно принципу оптимальности Беллмана участок траектории Задачи и методы классического вариационного - student2.ru представляет собой оптимальную траекторию по отношению к начальному состоянию Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , т.е. оптимальное управление на участке Задачи и методы классического вариационного - student2.ru не зависит от того, каким образом система приведена в состояние Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru
Задачи и методы классического вариационного - student2.ru

Рис.4.1. Оптимальная траектория

Другими словами, каждый участок оптимальной траектории является оптимальной траекторией относительно своей начальной точки, оптимальное управление не зависит от предыстории движения системы и для будущих моментов времени определяется только состоянием в данный момент. Таким образом, всю траекторию движения системы можно разбить на части, двигаясь от ее конца к началу, и оптимизировать движение по частям.

Рассмотрим задачу оптимального управления динамической системой:

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , Задачи и методы классического вариационного - student2.ru ,

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Требуется синтезировать закон оптимального управления Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Пусть поставленная задача решена. Введем обозначение: Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - минимальное значение функционала для участка траектории Задачи и методы классического вариационного - student2.ru , тогда Задачи и методы классического вариационного - student2.ru - есть минимальное значение функционала Задачи и методы классического вариационного - student2.ru для измененного относительно Задачи и методы классического вариационного - student2.ru состояния и времени. Очевидно, что Задачи и методы классического вариационного - student2.ru . Тогда в общем случае независимых изменений состояния и времени получим в соответствии с принципом оптимальности Беллмана

Задачи и методы классического вариационного - student2.ru .

Введем допущения о том, что функция Задачи и методы классического вариационного - student2.ru непрерыв<

Наши рекомендации