Дифференциальные уравнения математической физики

Санкт-Петербург

УДК 501 (517.946)

В. П. Трегубов

Математическая физика для прикладных математиков и физиков. Курс лекций.

Часть I. Дифференциальные уравнения математической физики. Изд-во СПбГУ, 2014,….с.

Курс лекций "Математическаяфизика для прикладных математиков и физиков" состоит из двух частей. В первой части "Уравнения математической физики" рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям в частных производных, излагается вывод основных уравнений математической физики, а также основные методы решения этих уравнений.

Во второй части "Дополнительные главы математической физики" даётся описание специальных функций, интегральных уравнений Фредгольма и Вольтера, кинетических уравнений, обратных задач математической физики, а также некоторых численных методов решения уравнений математической физики.

В основу предлагаемого учебного пособия положены лекции, читаемые в Санкт-Петербургском университете, на факультете прикладной математики–процессов управлений для бакалавров по направлению "Прикладные математика и физика". При изложении материала автор старался опираться на физическую постановку задач, что определило и порядок изложения материала.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Предмет математической физики

Основные понятия и определения

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Г л а в а I. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы

§ 1. Скалярные поля

§2. Векторные поля

§3. Оператор Гамильтона и дифференциальные операторы второго порядка

Г л а в а II. Одномерное волновое уравнение

§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны

§ 2. Случай ограниченной струны

§ 3. Решение задачи Коши

Формула Даламбера

Частные случаи

Графическая интерпретация

§ 4. Метод характеристик

§ 5. Случай полубесконечной струны

§ 6. Метод разделения переменных для уравнения колебания ограниченной струны

Замечание о колебании музыкальных струн

§ 7. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах

§ 8. Продольные колебания однородного стержня

§ 9. Случай ненулевых граничных условий

§ 10. Телеграфное уравнение

§ 11. Общая схема метода разделения переменных для однородных

гиперболических уравнений

§ 12. Задача Гурса

§ 13. Теорема единственности решения краевых задач

для одномерного волнового уравнения

Г л а в а III. Двумерные и трехмерные задачи для волнового уравнения

§ 1. Волны в трехмерном пространстве

Сферически симметричная задача

Формула Пуассона

Физическая картина распространения волн в трехмерном пространстве

§ 2. Двумерное волновое уравнение

§ 3. Теорема единственности для двумерного волнового уравнения

§ 4. Трехмерное неоднородное волновое уравнение

§ 5. Точечный источник

§ 6. Уравнения малых поперечных колебаний мембраны

§ 7. Граничные условия.

§ 8. Решение задачи о колебаниях круглой мембраны

Г л а в аIV.Некоторые общие вопросы теории дифференциальных уравнений гиперболического типа

§ 1. Задача Коши. Характеристики.

§ 2. Слабый разрыв. Фронт волны

Г л а в а V. Уравнение теплопроводности и диффузии

§ 1 . Уравнение теплопроволности для однородного стержня

§ 2. Граничные условия и их физический смысл

§ 3. Применение метода разделения переменных

§ 4. Задача о распространении тепла в изотропном твердом теле

§ 5. Уравнение диффузии

§ 6. Принцип максимального значения.

§ 7. Теорема единственности для неоднородного уравнения теплопроводности

Г л а в а VI. Стационарные задачи математической физики

§ 1. Уравнения Пуассона и Лапласа

Стационарное тепловое поле

Уравнения электростатики.

Потенциальное течение жидкости

§ 2. Оператор Лапласа в криволинейных координатах

§ 3. Фундаментальное решение уравнения Лапласа

§ 4. Гармонические функции.

§ 5. Формулы Грина

§ 6. Свойства гармонических функций

§ 7. Единственность решения краевых задач

Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле

Теорема единственности для задачи Неймана

§ 8.Изолированные особые точки

§ 9. Регулярность гармонических функций на бесконечности

§ 10. Единственность решения внешнич краевыч задач

§ 11. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом разделения

переменных.

Интегральная формула Пуассона

§ 11. Функция источника для уравнения Лапласа

§ 12. Решение задачи Дирихле в круге для уравнения Пуассона. Функция Грина.

Г л а в а VII. Теория потенциала

§ 1. Объемный потенциал

§ 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал

§ 3. Потенциалы простого и двойного слоя

§ 5. Поверхности Ляпунова

§ 6. Разрывы потенциала двойного слоя.

§ 7. Поведение потенциала простого слоя при переходе через границу

§ 8. Применение поверхностных интегралов к решению краевых задач

§ 9. Задачи Дирихле для круга.

Г л а в а.VIII. Уравнение Гельмгольца

§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа

Установившиеся колебания мембраны.

Стационарные процессы диффузии газа при наличии распада и цепных реакций.

Диффузия в движущейся среде

§ 2. Внутренняя краевая задача

§ 3. Сферически симметричное решение уравнения Гельмгольца

в ограниченной области

§ 4. Сферически симметричное решение уравнения Гельмгольца

для неограниченной области

Г л а в а IX. Уравнения теории упругости

§ 1. Уравнения динамической теории упругости

§ 2. Скалярный и векторный потенциалы

Г л а в а X. Уравнения электромагнитного поля

§ 1. Система уравнений Лоренца-Максвелла

§ 2. Усреднённые уравнения Лоренца-Максвелла

Г л а в а XII. Уравнения гидродинамики и газовой динамики

§ 1. Течение идеальной жидкости

§ 2. Течение вязкой жидкости

Ньютоновские жидкости

Неньютоновские жидкости

§ 3. Постановка граничных условий

§ 4. Уравнения газовой динамики

§ 5. Закон сохранения энергии

§ 6. Звуковые колебания в жидкости и газе

Литература

Введение