Расчитать нижнюю границу доверительного интервала надежности системы

2.1

Число испытаний
Число отказов

2.2

Число испытаний
Число отказов

Основные расчетные соотношения

При проведении испытаний по схеме «успех-отказ» нижняя граница надежности является корнем уравнения

В частности, для безотказных испытаний, полагая d=n , из соотношения получим . Отсюда

Рассмотренный метод позволяет производить оценки надежности отдельных элементов, входящих в состав системы. Однако при решении практических задач возникает потребность оценки надежности системы в целом при известных результатах испытаний ее отдельных элементов. В дальнейшем будем искать решение этой задачи для систем с последовательным соединением элементов. Строгое решение этой задачи получено при проведении испытаний по схеме «успех-отказ»

,

где .

Следует заметить, что это соотношение является обобщением частного случая, соответствующего безотказным испытаниям

При других схемах проведения испытаний для нахождения интервальной оценки надежности системы используется приближенное соотношение

Пример выполнения задания №2.1

Точечная оценка надежности :

Нижняя граница доверительного интервала :

Схема «успех-отказ»: = =0.46

Общий случай :

= 0.335

Оценить потребный объем испытаний k-го элемента системы при проведении автономных испытаний, оптимальный уровень надежности k-го элемента и коэффициент запаса, закладываемый на этапе его проектной разработки. Закон распределения параметра работоспособности элемента считать нормальным.

3.1 При проведении расчетов принять следующие исходные данные:

3.2 При проведении расчетов принять следующие исходные данные:

Основные расчетные соотношения

При решении задачи планирования автономных испытаний будем предполагать, что изделие может быть представлена в виде системы с последовательно соединенными элементами. В этом случае надежность системы H равна

, где h_i – надежность i-го элемента.

Для высоконадежных систем имеем

где q_i =1- h_i.- вероятность отказа i- го элемента.

Соответственно точечная оценка вероятности отказа будет равна

, где точечная оценка вероятности отказа i-го элемента.

Для расчета верхней границы вероятности отказа системы можно воспользоваться интервальной оценкой

,

где ; нижняя граница надежности i-го элемента системы.

Нижняя граница надежности элемента , прогнозируемая после проведении k испытаний , в случае нормального распределения параметров работоспособности, может быть оценена по соотношению

,

где коэффициент вариации коэффициента параметрического запаса ;

уровень доверительной вероятности;

математическое ожидание коэффициента запаса; k- число испытаний;

функция нормированного нормального распределения .

Таким образом потребный уровень математического ожидания коэффициента запаса удовлетворяет соотношению

После преобразований будем иметь

,

Введя обозначения ,

получим .

Таким образом , где .

Следовательно, требуемый уровень надежности может быть подтвержден при различных комбинациях параметров t_mi и . Среди многообразия этих значений целесообразно выбрать те, которые обеспечивают заданный уровень вероятности отказа при минимальных затратах средств.

Очевидно, уровень избыточности элементов системы t_mi будет определять производственные и эксплуатационные расходы на выполнение программы:

где N – объем выпускаемой продукции;

коэффициент чувствительности, характеризующий удельные затраты

на обеспечение единицы надежности, выраженной в гауссах.

Параметр определяется уровнем избыточности элемента. В частности, при использовании «горячего» резерва вероятность отказа резервной группы оценивается по соотношению

,

где вероятность отказа нерезервированного элемента; условная кратность резерва.

Отсюда .

Очевидно стоимость резервированного элемента будет равна

,

где стоимость нерезервированного элемента;

вероятность отказа нерезервированного элемента;

затраты на единицу надежности, выраженной в беллах.

Переходя к оценке надежности в гауссах, получим

, где ; .

В общем случае зависимость стоимости от кратности резерва можно представить в виде

.

Вид функции зависит от типа резервирования .Как было показано выше, в случае «горячего» резерва , имеем .

В дальнейшем найдем аналогичные соотношения для элементов с параметрической избыточностью. При решении поставленной задачи, вероятность отказа элементов с параметрической избыточностью условно представим в виде

где - вероятность отказа элемента, соответствующая коэффициенту запаса ; условная кратность резерва.

Надежность элемента ,прогнозируемая после проведении k испытаний , может быть оценена по соотношению

,

где коэффициент вариации коэффициента запаса;

уровень доверительной вероятности;

математическое ожидание коэффициента запаса.

Знание , позволяет оценить условную кратность резерва ,

В дальнейшем будем считать, что стоимость резервированного элемента пропорциональна коэффициенту запаса . Тогда функцию можно оценить по соотношению . Характер изменения функции представлен на рис. 5.1

Рис.5.1 Характер изменения функции для элементов с параметрической избыточностью.

При построении графика было приняты следующие исходные данные:

1.3 ; 0,95 ; 0,1 ; 2, 5, 10.

Как видно из графика функция слабо зависит от объема испытаний k . Приближенно для функции может быть принята линейная аппроксимационная зависимость

.

С учетом полученных результатов, выражение для стоимости примет вид

,

где

Отсюда

, где .

N – объем выпускаемой продукции;

коэффициент чувствительности, характеризующий удельные затраты

на обеспечение единицы надежности, выраженной в гауссах.

Соответственно затраты на экспериментальную отработку будут определяться объёмами испытаний элементов

где C_i - затраты на проведение одного испытания i-го элемента,

– затраты, не зависящие от варьирующихся параметров.

Таким образом, решение задачи сводится к минимизации функции суммарных затрат

В качестве дисциплинирующего условия рассмотрим правую границу неравенства

В дальнейшем для нахождения оптимального решения задачи рассмотрим функцию Лагранжа

Оптимальные параметры будут удовлетворять системе алгебраических уравнений:

При нахождении производной , предполагая, что число испытаний существенно меньше объема транспортной программы N, вторым слагаемым в выражении (2.36) можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем удельные затраты на проведение одного испытания будем считать постоянными для каждого i-го элемента системы.

Производя дифференцирование, получим:

Разрешая систему уравнений относительно K_i, найдем

Соотношение позволяет оценить оптимальный объем испытаний с точностью до целых. Таким образом оптимальные объемы испытаний отдельных элементов не зависят от требований, предъявляемых к надежности систем и определяются соотношением удельных затрат на обеспечение единицы надежности, закладываемой на этапе проектирования, и затрат на проведение одного испытания .

Соответственно, из первого уравнения системы получим:

где

Подставляя в граничное условие , приходим к соотношению: . Отсюда

Таким образом, оптимальные уровни вероятности отказа пропорциональны удельным затратам и заданным требованиям к вероятности отказа системы .

Потребные уровни коэффициента запаса, закладываемые на этапе разработки изделия, оцениваются по соотношениям

.

, где .

Пример выполнения задания № 3.1

Оптимальный объем испытаний оценивался по соотношению

, где

Программа вычислений и результаты расчета представлены ниже (см. рис.5.2)

Рис. 5.2 Зависимость числа испытаний i-ой системы на этапе автономной отработки

от объема транспортной программы (x=N).

При разработке программы были приняты обозначения;

.

Занятие №6