Решение линейных и квадратных неравенств.

1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .

2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где .

Если a > 0, то .

Если a < 0, то .

Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:

.

Решение: Раскрыв скобки, получим:

.

Ответ:

3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.

При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта:

1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.

2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ (x₁ < x₂), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x₁), (x₁; x₂), (x₂; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x₁; x₂).

3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х₁, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.

Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).

Ответ: .

Метод интервалов.

1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.

2º. Для решения любых алгебраических уравнений

вида (1) или вида (2) , где x₁, x₂, …, x_n – действительные числа, удовлетворяющие условию x₁ < x₂ < …< x_n, а k₁, k₂, …, k_n – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.

Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x₁, x₂, …, x_n, в промежутке справа от x_n ставят знак +,

затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку x_i меняют знак, если k_i - нечетное число и сохраняют знак, если k_i - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак – .

Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q(x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение: Находим корни квадратного трехчлена :

Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].

Ответ: .

Пример 12. Решить неравенство .

Решение:

Находим корни числителя и знаменателя:

Указанная система равносильна следующей системе:

Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.

Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Решите системы неравенств:

5. ; 6. .

Найдите целые решения системы неравенств:

7. ; 8. .

Решите неравенства:

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ; 29. ;

30. ; 31. ; 32. .

Тема №5.