Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решением линейного неравенства с двумя переменными Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru называется множество пар значений переменных Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , которые удовлетворяют неравенству. Геометрически решением линейного неравенства Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru является полуплоскость, границей которой является прямая Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru .

Порядок действий:

1) записать уравнение Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru и построить на плоскости граничную прямую;

2) выбрать искомую полуплоскость, координаты точек в которой удовлетворяют заданному неравенству. Для этого подставляют в неравенство координаты точки с известными координатами Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , не лежащей на граничной прямой. Если получится верное числовое неравенство, то искомая полуплоскость та, которая содержит точку Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru (в противном случае берется другая полуплоскость). Плоскость выделяется штриховкой.

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

0 Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Отметим, что неравенство Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru определяет правую координатную полуплоскость (от оси Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ), а неравенство Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – верхнюю координатную полуплоскость (от оси Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ).

Пример. Решить графически неравенство Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru .

Запишем уравнение граничной прямой Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru и построим её по двум точкам, например, Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru и Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru . Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

 
  Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

0 2 Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

–4

Координаты точки Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru удовлетворяют неравенству Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ( Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решением системы Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru линейных неравенств Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru называется множество пар значений переменных Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , которые удовлетворяют одновременно всем Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru неравенствам. Геометрически решением системы линейных неравенств является область на плоскости, координаты точек которых лежат в пересечении Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru полуплоскостей.

Решение Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru системы неравенств называется допустимым, если его координаты неотрицательны Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.

Пример. Построить область решений системы неравенств Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Решениями неравенств является:

1) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ( Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ;

2) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ( Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ;

3) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – полуплоскость, расположенная правее прямой ( Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ;

4) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ( Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru .

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

3 Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

1 В

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru 0 Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , являющегося пересечением четырех полуплоскостей.

Геометрическое изображение линейной функции (линии уровня и градиент)

Зафиксируем значение Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , получим уравнение Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , которое геометрически задаёт прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru и является линией уровня. Придавая Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru различные значения, например, Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , ... , получим множество линий уровня – совокупность параллельных прямых.

Построим градиент – вектор Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru . Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня) Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru ; 2) показывает направление возрастания целевой функции.

Пример. Построить линии уровня и градиент функции Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru .

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

 
  Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

 
  Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru

Линии уровня при Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru – это прямые Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , параллельные друг другу. Градиент – это вектор Графическое решение системы линейных неравенств - student2.ru , перпендикулярный каждой линии уровня.

Наши рекомендации