Квадратичная функция, ее график.
1º. Функция, заданная формулой , где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной.
2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой
, проходящей через вершину параболы.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
.
Если квадратичную функцию путем выделения полного квадрата привести к виду
, то точка (x0; y0) – вершина параболы.
График квадратичной функции получается из графика функции
с помощью параллельного переноса.
3º. Если коэффициент a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз.
При парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при D=0 – в одной (т.е. касается оси Ох), при D<0 - парабола не пересекает ось абсцисс.
Пример 3. Построим график функции .
Выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата»):
График функции получается из графика функции
параллельным переносом на 2 единицы влево и на две единицы вниз.
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом:
.
Геометрический смысл модуля: |a| есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а |x-a| есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а.
2º. Уравнения вида можно решать геометрически.
Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.
При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок.
Например, , если a ≥ 5;
, если a < 5.
Пример 4. Решим уравнение , используя определение модуля числа.
Решение: Уравнение имеет решение, если x+1≥0, т.е. x≥-1.
.
Условие x≥-1 выполняется в обоих случаях.
Ответ: 4; 2/3.
Пример 5. Решим уравнение , используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»).
Решение:
.
1) |2x+1|=7 => 2x+1=7 или 2x+1=-7 => x=3 или x=-4
2) |2x+1|-3=-4 => |2x+1|=-1 – нет решений.
Ответ: 3; -4.
Пример 6. Решим уравнение , рассматривая решения на интервалах.
Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых и
:
.
Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).
а) Для уравнение примет вид:
-(x+1)-(x+2)=2; -x-1-x-2=2; -2x=5; x=-2,5; => x=-2,5 – корень уравнения.
б) Для уравнение примет вид:
-(x+1)+(x+2)=2; -x-1+x+2=2; 0·x=1- нет корней.
в) Для уравнение примет вид:
x+1+x+2=2; 2x=-1; x=-0,5; => x=-0,5 – корень уравнения.
Ответ: -2,5; -0,5.
Дидактический материал.
Решите уравнения, сводящиеся к линейным:
1. ; 2.
; 3.
;
4. ; 5.
;
6. ; 7.
;
8. ; 9.
;
10. ; 11.
.
Решите квадратные уравнения:
12. ; 13.
;
14. ; 15.
;
16. .
Разложите на линейные множители:
17. ; 18.
; 19.
;
20. ; 21.
.
Сократите дроби:
22. ; 23.
; 24.
;
25. ; 26.
; 27.
.
Упростите выражение:
28. ; 29.
.
Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения:
30. ; 31.
;
32. ; 33.
;
34. ; 35.
;
36. .
Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:
37. ; 38.
;
39. ; 39.
.
Постройте график функции:
40. ; 41.
; 42.
;
43. ; 44.
; 45.
;
46. ; 47.
; 48.
;
49. ; 50.
; 51.
.
52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:
Найдите рациональные корни уравнения:
53. ; 54.
; 55.
;
56. ; 57.
; 58.
;
59. ; 60.
; 61.
.
Решите уравнения:
62. ; 63.
; 64.
;
65. ; 66.
; 67.
;
68. ; 69.
;
70. ; 71.
; 72.
.
Тема №3.
Степени и корни.