Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график

Обратная функция и ее график

Если функциональная зависимость Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru от Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru задана аналитически уравнением Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , из которого можно определить Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru как функцию от Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru уравнением Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru так, что каждому значению Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru соответствует единственное значение Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , то функция, определяемая уравнением Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , называется обратной по отношению к функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , которая в этой связи называется прямой. В уравнении Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru величина Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru —называется переменная, а Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru —функция. Для того чтобы сохранить стандартные обозначения, в которых Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru обозначает независимую переменную, а Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru —функцию, в уравнении Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru следует заменить Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru буквой Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , а Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru —буквой Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . Именно так полученную функцию Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru мы и будем считать обратной по отношению к функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . График обратной функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru симметричен графику прямой функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru относительно биссектрисы первого и третьего координатных узлов.

Задача 9.1

Найти функцию, обратную функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , и построить ее график.

Решение.

Находим из данного уравнения Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru в зависимости от Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru : Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . Заменяя в этом равенстве Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru на Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , а Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru на Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , получаем окончательно Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Графики заданной функции и ей обратной представлены на фиг.9.1.

Задача 9.2

Найти функцию, обратную функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Решение.

Из уравнения Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru видно, что значение функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru заполняют полуотрезок Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . Если это уравнение разрешить относительно Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , то получим уравнение Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , из которого видно, что каждому значению Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru из полуотрезка Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru соответствует не одно, а два значения Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru из интервала Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . Отсюда мы заключаем, что если функцию Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru рассматривать на интервале Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , то для ее обратной функции не существует ( Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru через Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru выражается не однозначно).

Если будем рассматривать данную функцию Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru только для положительных значений Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru и Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , т.е. значений Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru из полуотрезка Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , тогда Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru и каждому значению Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru соответствует не два, а только одно значение Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , обратная функция теперь существует и определяется уравнением Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru (фиг.9.2).

Если данную функцию Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru рассматривают только для значений Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , то она и в этом случае будет иметь обратную функцию. Действительно, в этом случае Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , каждому значению Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru соответствует единственное значение Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , и обратная функция определяется уравнением Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Задача 9.3

(для самостоятельного решения). Убедиться, что на интервале Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru функция Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru не имеет обратной функции, а на отрезке Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru — имеет.

Задача 9.4

Найти функцию, обратную функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Решение.

1) Находим Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru в зависимости от Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru :

Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ; Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

2) Заменим в последнем выражении Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru на Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , а Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru на Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru и получим Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru . Это и есть функция, обратная данной.

Задача 9.5

(для самостоятельного решения). Найти функции, обратные данным:

1) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

2) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

3) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Ответ.

1) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

2) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

3) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

При каких значениях Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru могут рассматриваться эти функции?

Задача 9.6

(для самостоятельного решения).Найти функцию, обратную функции Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , и построить ее график, пользуясь свойством графика обратной функции.

Задача 9.7

(для самостоятельного решения). Определить функции обратные следующим функциям:

1) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

2) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

3) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

4) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

5) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

6) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Указание. Заданную функцию рассмотреть сначала для значений Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ,а потом для значений Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Ответ.

1) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

2) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , область существования – два бесконечных интервала: Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ; Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

3) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , область существования – интервалы Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru и Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru

4) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru , область существования— Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

5) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru ;

6) Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график - student2.ru .

Периодические функции

Наши рекомендации