Понятие статистически оптимальной линейной системы

Задачи, рассмотренные в двух предыдущих параграфах, можно сформулировать так: задана система, требуется узнать, как проходят через нее случайные сигналы. Это задачи анализа готовой системы. На практике часто приходится решать другую задачу: заданы условия, которым должна удовлетворять система, требуется построить соответствующую систему. Такая задача называется задачей синтеза системы.

Наиболее простая задача синтеза системы может быть сформулирована так. Из каких-то конкретных соображений определена структурная схема системы, но один или несколько параметров в этой схеме неизвестны. Требуется так выбрать эти параметры, чтобы удовлетворить заданным требованиям. Эта задача носит название задачи ограниченного синтеза. В более общем случае необходимо выбрать структуру системы и ее параметры. При этом нужно выбрать систему, наилучшую в том или ином отношении, т. е оптимальную систему.

На вход реальной системы могут поступать различные сигналы и помехи. Как бы ни была спроектирована система, она в одних условиях ведет себя наилучшим образом, а в других случаях – не наилучшим. Это означает, что можно построить систему, которая в этих условиях имела бы лучшие показатели. Поэтому выбор оптимальной системы, работающей при случайных воздействиях, правильно осуществлять на основе статистическою критерия оптимальности. Например, можно назвать лучшей систему, которая в среднем работает наилучшим образом. Для такой системы критерием оптимальности будет среднее значение соответствующего показателя. Статистические критерии оптимальности могут быть различными для различных задач.

Пусть требуется на выходе системы иметь сигнал Y₀{t), который мы будем считать идеальным. Реальная система из-за искажений и помех обеспечивает выходной сигнал Y(t). т. е. существует погрешность (ошибка), значение которой

e(t)= Y₀{t) - Y(t)

Систему можно считать тем лучшей, чем меньше величина ошибки e(t).

О качестве системы целесообразно судить не непосредственно по величине ошибки, а по некоторой зависящей от ошибки функции I, определяемой конкретными требованиями к системе, Функцию ошибок, характеризующую качество системы, называют функцией потерь([функцией риска), а ее значение — потерями (риском).

Наиболее часто в качение такой функции используется среднеквадратическая ошибка, т. е. математическое ожидание квадрата ошибки

Y(t) —эргодический случайный процесс, то

Как правило, на входе управляющего устройства одновременно действуют управляющий сигнал u(t) и помеха (шум) f_ш(t) Так, например, на входе следящей системы радиолокатора, которая предназначена

для измерения координат летящих самолетов, помимо полезного управляюшего сигнала u(t), действуют помехи f_ш. Следящая система (рис. 7.5) должна с максимальной точностью воспроизвести на выходе входной сигнал. Ошибка системы в этом случае равна

z(t)=u(t)-y(t)

где y(t) – выходная координата объекта.

Результирующим внешним воздействием на входе управляющего устройства будем считать разность управляющего сигнала и помехи, т. е. помеха уменьшает входной сигнал и мешает управлению. Если W_об(s) и W_уу(s) – соответственно, передаточные функции объекта и управляющего устройства, то изображение выходной величины объекта:

где W(s)=W_об(s)W_ш(s), F_ш(s)– изображение функции f_ш(t).

Найдем изображение ошибки

или

Отсюда следует, что ошибка слежения является суммой двух ошибок – ошибки воcпроизведения управляющего сигнала E_Y(s) и ошибки, вызванной действием помехи. Здесь, несмотря на то, что управляющий сигнал и помеха приложены в одной и той же точке системы, влияние их на ошибку различно.

Если управляющий сигнал и помеха приложены в разных точках системы, то можно методами, рассмотренными в главе 2 перенести оба сигнала к одному входу.

Так как ошибка системы зависит от передаточной функции разомкнутой системы W(s), то, естественно, желательно выбрать W(s) так, чтобы свести к минимуму влияние помехи. Рассмотрим в общих чертах, как выбирают параметры схемы системы, которая при совместном действии на нее полезного сигнала и помехи обеспечивает минимальную величину средней квадратичной ошибки, т. е. как определить параметры W(s), при которых достигается минимум M[ε²(t)].

Пусть управляющий сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями, статистически независимыми друг от друга. Выразим дисперсию суммарной ошибки через передаточную функцию W(s)и спектральные плотности сигнала S_Y(ω) и помехи S_ш(ω). Используя предыдущие формулы, можно написать

После интегрирования и подстановки пределов получим дисперсию как функцию параметров системы, т. е. как функцию от постоянных времени и коэффициентов усиления звеньев системы. Оптимальные параметры системы, соответствующие минимальному значению σ², можно находить методами определения экстремума функции многих переменных.

Математическая модель взаимодействия элементов сложной системы

Определение агрегата.

Рассмотренные нами приемы и методы моделирования систем с управлением не всегда могут быть использованы для исследования процессов в сложных системах, поскольку приводят, по мере возрастания сложности задач, к значительному увеличению трудоемкости подготовки моделей.

В этих условиях зачастую одним из эффективных методов является метод имитационного моделирования.

При выборе той или иной схемы формализации процесса функционирования сложной системы основную роль играют два соображения: а) обеспечить требуемую точность решения задачи; б) получить как можно более простую модель.

Ни для одного из этих требований (точности и простоты) не могут быть предложены формальные критерии, позволяющие проверить, действительно ли полученная формализация обеспечивает заданную точность и является достаточно простой.

В то же время, желание дать единое математическое описание всем элементам сложной системы и тем самым добиться решения ряда важных теоретических и практических вопросов системного анализа приводит к возникновению все более общих абстрактных схем, предназначенных для формализации реальных объектов.

Одной из таких схем является схема функционирования сложной динамической системы, которая была названа агрегатом.

Под динамической системой, в широком смысле, понимается объект, находящийся в каждый момент времени t (t T) в одном из возможных состояний z_t (z_t Z) и способной переходить (во времени) из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин, совершая при этом движение z(t).

Динамическая система (в широком смысле) как математический объект содержит в своём описании следующие механизмы:

1) механизм изменения состояний под действием внутренних причин, без вмешательства внешней среды;

2) механизм приёма входного сигнала и изменение состояний под действием этого сигнала;

3) механизм формирования выходного сигнала, как реакция динамической системы на внутренние и внешние причины изменения состояния.

Обычно эти механизмы описываются операторами переходов и выходов, реализующих отображение:

H: T×Z×X → Z

G: T×Z×X → Y

где T – множество моментов времени, Z – множество состояний, X – множество входных сигналов, Y – множество выходов.

Для формального описания элементов сложной системы часто используют математическую схему динамической системы в широком смысле, дополняя её так называемым дискретным вмешательством случая. Чтоб задать конкретный пример общей динамической системы с дискретным вмешательством случая необходимо указать:

- уравнение границы области Z;

- уравнение движения точки z(t) внутри области Z;

- соотношение для расчёта распределения вероятностей скачка состояния при выходе на границу;

- соотношение для расчёта координат выходных сигналов;

- соотношения для расчёта распределения вероятности скачка состояний при поступлении входного сигнала.

Эти уравнения и соотношения называются характеристиками общей динамической системы с дискретным вмешательством случая.

Элементы такой сложной системы находятся в постоянном взаимодействии.

Под взаимодействием элементов сложной системы будем понимать режим совместного функционирования элементов, при котором поведение или свойство одного элемента в общем случае зависит от условий, определяемых поведением или свойством других элементов.

Пусть рассматривается система S, состоящая из элементов C₁, C₂, …, C_N. Влияние элемента C_j на элемент C_k определяется сигналами, поступающими от элемента C_j к элементу C_k. Выходной сигнал элемента C_j сформированный с учётом условий функционирования этого элемента трансформируется при передаче его по реальному каналу связи и поступает к элементу C_k в качестве входного сигнала, вызывающего изменение в поведении этого элемента.

Для формального описания взаимодействия элементов C_j и C_k сложной системы достаточно иметь следующие 4 модели:

1. формирования выходного сигнала элемента C_j;

2. сопряжения элементов сетью каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между ними;

3. трансформации сигнала в процессе прохождения через реальный канал связи;

4. приёма входного сигнала и поведения элемента C_k под воздействием этого сигнала.

В этом контексте агрегат может быть определен следующим образом.

В каждый момент времени tÎ(0,T) агрегат находится в одном из возможных состояний. Состояние агрегата является элементом некоторого множества Z. Если состояния z=(z₁, z₂,…,z_l*) оказываются действительными векторами, z_l обычно называются фазовыми координатами. Когда аргумент пробегает значения в интервале (0,T), состояние z изменяется как функция времени z(t). В дальнейшем функции z(t) мы часто будем называть фазовыми траекториями.

В общем случае функции z(t) представляют собой реализации случайных функций Z(t), исчерпывающее вероятностное описание которых требует знания всей совокупности многомерных законов распределения L[Z(t)]. Кроме того, функции z(t) (или их вероятностные характеристики) могут зависеть от ряда параметров, которые будем обозначать b_m, m=1, 2, …, m*. В начальный момент времени t₀ состояния z имеют значения, равные z⁰, задаваемые законом распределения L₀[Z(t₀), который получается из совокупности L[Z(t)] (L₀[Z(t₀) одномерный закон распределения процесса z(t), соответствующий моменту времени t₀.).

Состояние агрегата z(t) для произвольного момента времени t>t₀ определяются по предыдущим состояниям случайным оператором H:

z(t)= H[z(t₀), t] (1)

Это означает, что данному z(t₀) ставится в соответствие в общем случае не одно определенное z(t), а множество значений z(t) с некоторым законом распределения, зависящим от вида оператора H. Конкретное значение состояния z(t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения. Наряду с z(t) будем рассматривать также z(t+0), считая, что для любого t₁>t момент t+0 принадлежит полуинтервалу (t, t₁].

Агрегат имеет входные контакты, способные воспринимать воздействия внешней среды, на которые в моменты времени t_j, j=1, 2, …; t_j+1³t_j, поступают входные сигналы. Входной сигнал x является элементом некоторого множества X. Будем считать, что входной сигнал x является вектором, размерность которого равна числу входных контактов, и на каждый контакт поступает "своя" координата входного сигнала. При этом сами сигналы могут иметь произвольную природу. Аналогичное замечание верно и для управляющих, а также выходных сигналов.

В общем случае последовательности вида (t_j, x_j) оказываются реализациями случайных последовательностей (q_j, X_j) с законом распределения L[q, X].

Агрегат имеет особые входные контакты, к которым в моменты времени t поступают управляющие сигналы. Управляющий сигнал g является элементом множества Г. В общем случае последовательности вида (t_i, g_i) оказываются реализациями случайных последовательностей (q_j, g_j) с законом распределения L[q, g].

На выходе агрегата образуются выходные сигналы. Выходной сигнал y является элементом некоторого множества Y и определяется по состояниям агрегата z(t) при помощи оператора G.

Состояния агрегата. Формы оператора переходов и оператора выходов.

Будем предполагать, что за конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов, а также выдается конечное число выходных сигналов.

Оператор H обычно называют оператором переходов, а оператор G – оператором выходов.

Вид оператора H зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты так называемых особых состояний агрегата. При этом под особым состоянием агрегата понимаются его состояния в моменты получения входного либо управляющего сигнала или выдачи выходного сигнала. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Пусть z(t*) – некоторое особое состояние агрегата, а g_s – последний управляющий сигнал g_s ÎГ. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператора Н и определяющих состояния агрегата в момент t*+0. Если t* - момент поступления в агрегат входного сигнала х, то

(2)

Аналогично, если t* - момент поступления в агрегат управляющего сигнала g, то

(3)

При одновременном поступлении входного х и управляющего g сигналов

(4)

Наконец, если t* – момент выдачи выходного сигнала y, то

(5)

В интервалах между особыми состояниями значение z(t) определяется при помощи операторов , вид которых в общем случае зависит от особого состояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:

(6)

Здесь t* - момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени.

Естественно, замечание о том, что Н является случайным оператором, без изменений переносится на его частные виды U, V', V'', V и W.

Перейдем к рассмотрению оператора G. Во множестве Z состояний z(t) агрегата выделяется система подмножеств {Z_y}, обладающая следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t' в тех случаях, когда: 1) состояние z(t') принадлежит подмножеству Z_y, но при достаточно малых e>0 значение z(t'-e) не принадлежит подмножеству Z_y, и 2) состояние z(t'+0) принадлежит подмножеству Z_y, но z(t') не принадлежит подмножеству. Таким образом, оператор G можно себе представить в виде совокупности двух операторов – G', вырабатывающего выходной сигнал

(7)

и G'', проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к одному из подмножеств Z_y. В общем случае оператор G' является случайным оператором.

В некоторых случаях в качестве одной из составляющих z(t), например, z₁(t), можно рассматривать время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G'' проверяет неравенство z₁(t)>0.

Агрегат функционирует следующим образом. В начальный момент времени t₀ заданы начальное состояние агрегата z₀ и начальное значение управляющего сигнала g₀.

Пусть t₁ и t₂ – моменты поступления первого x₁ и второго x₂ входных сигналов, t₁ – момент поступления первого управляющего сигнала g1 и, для определенности, t₁<t< t₂. Рассмотрим полуинтервал (t₀, t₁]. Состояния агрегата изменяются с течением времени по закону

до тех пор (оператор G''), пока в момент t' (пусть t'<t₁) состояние z(t') не окажется принадлежащим подмножеству Z'_y, хотя состояние z(t'-e) не принадлежало Z'_y при достаточно малых e>0. В этом случае в момент t' выдается выходной сигнал y', вырабатываемый оператором G'. Вместе с тем закон изменения состояний (6) агрегата нарушается и

.

Прежде чем рассматривать дальнейшие изменения состояний агрегата во времени, необходимо проверить (оператор G''), не удовлетворяет ли состояние z(t'+0) условиям выдачи выходного сигнала, или, другими словами, не принадлежит ли (в смысле условий 1) и 2), упомянутых выше) состояние z(t'+0) некоторому новому подмножеству Z''_y. Если состояние z(t'+0) удовлетворяет условиям выдачи выходного сигнала (принадлежит подмножеству Z''_y), то в момент t' выдается второй выходной сигнал y'' (оператор G'₀), а состояние агрегата описывается соотношением

(8)

и т.д.

В силу принятого выше соглашения в момент t' (как и в любой момент времени) может быть выдано конечное число выходных сигналов. Это свойство агрегата является ограничением, накладываемым на структуру подмножеств Z_y и оператор W. Предположим теперь, что z(t'+0) не принадлежит никакому из подмножеств Z_y. Поэтому далее состояние агрегата изменяется в соответствии с законом

(9)

Аналогично решается вопрос о выдаче последующих выходных сигналов и изменении состояний с течением времени.

Пусть теперь в момент t₁ поступает входной сигнал x₁. Проследим поведение агрегата в момент t₁ при различных вариантах возможных ситуаций.

Если при достаточно малых e>0 в момент t₁-e состояние агрегата z(t₁) не принадлежало подмножеству Z*_y, а в момент t₁ – принадлежит этому подмножеству, то условимся, что в момент t₁ выдается выходной сигнал y*, а состояние агрегата есть

z(t₁+0)=W[z(t₁), g₀] (10)

Вместе с тем действие входного сигнала x₁ приводит к тому, что

z(t₁+0+0)=V'[z(t₁+0), x₁, g₀]=V'{W[z(t₁),g₀], x₁, g₀} (11)

Очевидно, что состояние z(t₁+0+0) должно быть проверено (оператором G'') по отношению к условиям выдачи выходного сигнала. Предположим теперь, что в момент t₁ не было оснований для выдачи выходного сигнала y*. Тогда вместо (10) и (11) в силу действия входного сигнала x₁ состояние агрегата имеет вид

z(t₁+0)=V'[z(t₁), x₁, g₀] (12)

а в дальнейшем, если состояние (12) не соответствует выдаче выходного сигнала:

(13)

Пусть в момент t₁ в агрегат поступает управляющий сигнал g₁. Тогда состояние агрегата имеет вид

z(t₁+0)=V''[z(t₁), g₁] (14)

если в момент t₁ не происходит выдача выходного сигнала, или

z(t₁+0+0)=V''{W[z(t₁), g₀], g₁} (15)

если в момент t₁ не выдается выходной сигнал.

Необходимо отметить, что управляющий сигнал g в общем случае является параметром, определяющим операторы H и G, или, что то же самое, операторы V', V'', W, U_(ti), G', G''. Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего сигнала g₀ в этих операторах должно использоваться значение g₁ до тех пор, пока не поступит следующий управляющий сигнал g₂. Например, в полуинтервале (t₁, t₂], если нет оснований для выдачи выходного сигнала,

(16)

В частном случае операторы H и G могут оставаться неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала. Аналогично оператор U может быть одним и тем же при любых выходных сигналах (при попадании z(t) в любые подмножества Z_y).