Решение уравнений в приложениях Mathcad и Excel

Решить уравнение с помощью Mathcadможно разными способами.

С помощью меню.Следует записать уравнение, в котором логический знак равенства (на экране он будет жирным) вводится с панели Логический. Если уравнение приведено к виду f(x) = 0, то можно ввести только левую часть уравнения без знака равенства и нуля.

Затем надо выделить в уравнении переменную, относительно которой оно решается, и выполнить Символика/Переменная/Решение.

С помощью ключевого слова solve.Надо ввести уравнение и ключевое слово solve с панели Символика, в появившемся местозаполнителе записать имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Для упрощения сложного решения можно после имени введенной переменной ввести ключевое слово simplify из панели Символика. Ключевые слова при этом отобразятся записанными в столбик.

С помощью встроенной функции root. Следует задать начальное приближение корня и записать само уравнение:

x := 1

f(x) := 3 – x – ln(x)

Для получения значения корня нужно использовать встроенную функцию:

root(f(x),x) =

В приложении Excel можно составить программы по алгоритмам, приведенным выше, на языке VBA и произвести нужные вычисления.

Кроме того, для решения уравнения в приложении Excel имеется команда Сервис/Подбор параметра. Чтобы решить уравнение, надо на рабочем листе, например, в ячейке А1 записать начальное приближение корня, в ячейке В1 − само уравнение: = 3 – А1 – Log(A1).

Выполнить Сервис/Подбор параметра. В появившемся окне задать следующие значения: в поле Установить в ячейке выбрать В1, в поле Значение ввести 0, в поле Изменяя значение ячейки − А1. После нажатия <ОK> в ячейке А1 будет корень уравнения.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений n-го порядка имеет следующий вид:

или в матричном виде:

AX = B,

где , ,

Корнями системы являются такие значения x₁, x₂, …, x_n, подстановка которых в систему превращает уравнения в тождества.

Метод Гаусса. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x₁, x₂, …, x_n путем преобразования системы уравнений таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень x_n из последнего уравнения, корень x_n–1 – из предпоследнего и т. д.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса:

1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.

2. Выполнение п. 3–7 данного алгоритма с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n – 1.

3. Выполнение п. 4–7 с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k + 1 до n.

4. Вычисление c = a_ik / a_kk, a_ik = 0.

5. Выполнение п. 6 с изменением номера столбца j c k + 1 до n.

6. Расчет a_ij = a_ij – c×a_kj.

7. Вычисление b_i = b_i – c×b_k.

8. Определение корня x_n = b_n / a_nn.

9. Выполнение п. 10–13 с изменением номера уравнения iс n – 1 до 1.

10. Подготовка переменной для вычисления суммы s = 0.

11. Выполнение п. 12 с изменением номера столбца j с i + 1 до n.

12. Вычисление s = s + a_ij×x_j.

13. Определение x_i = (b_i – s) / a_ii.

14. Вывод значений x₁, x₂, …, x_n.

В данном алгоритме п. 2–7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение п. 8–13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).

Матричный метод. Зная матрицу A, можно вычислить обратную матрицу A^–1, затем умножить ее на систему: A^–1 × A × X = A^–1 × B. Получится: X = A^–1 × B. Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.