Алгоритм расчета на прочность

при косом (прямом) изгибе с растяжением-сжатием

1. Определение положение опасного сечения на элементе конструкции по эпюрам (эпюре) изгибающих моментов.

2. Определение положения опасной точки в опасном сечении.

2.1. При наличии двух прямых изгибов нужно построить силовую линию в плоскости опасного сечения. Как построить силовую линию подробно смотри в практическом занятии №9 во втором пункте алгоритма (стр. 131). В случае прямоугольного сечения, двутавра или швеллера опасными от изгибающих моментов будут угловые точки в силовых четвертях. Для круглого сечения опасные точки будут на пересечении силовой линии с контуром сечения. Одна из опасных точек от изгиба будет испытывать растягивающее нормальное напряжение со знаком «+», а противоположная точка – сжимающее нормальное напряжение со знаком «–». В каждую из опасных точек от изгиба надо приписать знак нормального напряжения от продольной силы N в случае растяжения «+» или «–» в случае сжатия. Точка, в которой знаки нормальных напряжений совпадут, будет опасной точкой сечения.

2.2. При наличии одного внутреннего изгибающего момента силовой линией является та ось поперечного сечения, с которой совпадает ордината изгибающего момента. Ось, перпендикулярная силовой, является нейтральной. Точки, максимально отстоящие от нейтральной линии, являются опасными от изгиба. Те точки, которые находятся в зоне сжатия, испытывают нормальное напряжение со знаком «–», а противоположные в зоне растяжения – со знаком «+». Осталось только добавить знаки нормальных напряжений от действия продольной силы. Опасными будут, соответственно, те точки, в которых совпадут знаки напряжений.

3. Запись одного из условий прочности (У1)–(У4) и его решение в соответствии с поставленной задачей. При реализации этого пункта алгоритма чаще всего напряжением от действия продольной силы пренебрегают. Во-первых, потому, что оно гораздо меньше по сравнению с напряжением, возникающим от изгибающего момента и, во-вторых, включает величину характерного размера в квадрате, а напряжение от изгибающего момента – в кубе, что затрудняет, например, решение задачи об определении величины характерного размера поперечного сечения. После определения величины характерного размера по составляющей напряжения от изгиба проводят проверку прочности с учетом напряжения от действия продольной силы. Если процент перенапряжения не превышает пяти, принимают найденные величины в качестве действительных. В противном случае их изменяют методом подбора.

3.6.2. Примеры решения задач

Задача 1

Консольная балка нагружена силами, создающими изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, и сжимающей силой, приложенной к свободному концу. Материал балки Ст3 с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа.

Требуется:

Определить величину допускаемой силы [F] для двух случаев поперечного сечения: прямоугольного с отношением сторон при и круглого с диаметром .

РЕШЕНИЕ

Для прямоугольного сечения

1. Определим положение опасного сечения на балке. Для этого построим эпюры изгибающих моментов М_Х, М_Y и продольной силы N.

Из эпюр изгибающих моментов видно, что предположительно опасными могут быть два сечения: «С» и «D». Сечение «С» испытывает прямой поперечный изгиб со сжатием, а сечение «D» – косой поперечный изгиб со сжатием. Какое сечение более опасно в данном случае мы сможем сказать только после определения величин напряжений в опасных точках каждого сечения.

2. Определим положение опасных точек в сечениях «С» и «D». Для этого в плоскости каждого сечения отложим ординаты внутренних изгибающих моментов и установим положение силовой линии. В сечении «С» силовая линия совпадает с осью «у», а ось «х» является нейтральной от действия момента М_Х. Опасными являются точки верней и нижней стороны сечения. Нижние волокна испытывают напряжение сжатия (на это указывает ордината момента в соответствии с эпюрой моментов), поэтому в области нижних волокон мы ставим знак «–», а в области верхних «+», т.к. они испытывают напряжение растяжения. Добавляя к каждому знаку напряжений от действия изгибающего момента знак «–» от действия сжимающей продольной силы, видим, что опасными являются нижние волокна сечения.

В сечении «D» силовая линия определяется по положению ординаты суммарного момента и пересекает II и IV четверти поперечного сечения.

Опасными от изгиба будут угловые точки «К» и «L». Положение ординаты суммарного изгибающего момента указывает на то, что точка «L» испытывает напряжение сжатия и рядом с ней мы ставим два знака «–» от действия М_Х и М_Y, а рядом с точкой «К» два знака «+», т.к. в ней возникают напряжения растяжения. Добавляя к каждому знаку напряжений от действия изгибающих моментов знак «–» от действия сжимающей продольной силы, видим, что опаснее будет точка «L».

3. Определим величины напряжений от изгибающих моментов в опасных точках сечений «С» и «D».

Для сечения «С»:

,

где М_Х=3F, а . Заменяя h на 2b, получим: , тогда:

.

Для сечения «D»:

,

где М_Х=F, М_Y=F, . Тогда

.

Из сравнения максимальных напряжений в опасном волокне сечения «С» и в опасной точке сечения «D» очевидно, что сечения равноопасны. Определим величину допускаемой силы из условия прочности по составляющей от изгибающего момента, беря ее по модулю:

Подставив значения и кПа, получим:

.

Проведем проверку прочности в опасных точках сечения «С» и «D» с учетом составляющей напряжения от действия продольной силы .

Процент перегруза составляет:

– допускаемого процента перегруза.

Для круглого сечения

1. Определим положение опасного сечения на балке. Этот пункт уже выполнен для данной балки в случае прямоугольного сечения. Для круглого профиля это также сечения «С» и «D». Только в отличие от прямоугольного в сечении «D» возникает прямой пространственный изгиб со сжатием.

2. Определим положение опасных точек в сечении «С» и «D».

В сечении «С» силовая линия совпадает с осью «у», нейтральная – с осью «х».

Опасными являются точки «G» и «P» на пересечении силовой линии с контуром круглого сечения, находящиеся на максимальном расстоянии от нейтральной линии. Нижняя точка «P» испытывает напряжение сжатия, и около нее мы поставим знак «–» (объяснение аналогичное, что и для прямоугольного профиля). Верхняя точка «G», соответственно, попала в область растяжения, и около нее мы поставим знак «+». Добавляя знак «–» от напряжений, возникающих под действием сжимающей продольной силы, получаем максимальное по модулю напряжение в точке «P».

Для определения опасной точки в сечении «D» необходимо определить положение силовой линии по положению ординаты суммарного момента. Для этого ординаты внутренних моментов М_Х и М_Y откладываем в ту же сторону, что и на эпюрах соответствующих моментов. В силу равенства моментов М_Х и М_Y ордината суммарного момента, а значит, и силовая линия, пройдет под углом в 45˚ через II и IV четверти поперечного сечения.

Опасными от изгиба будут точки «R» и «H» – точки пересечения силовой линии с контуром круга. Нейтральная линия пройдет перпендикулярно силовой, разделив плоскость сечения на области растяжения (в нее попала точка «R») и сжатия (в нее попала точка «H»). Соответственно, около точки «R» поставим знак «+», а около точки «H» – знак «–». Добавляя к каждой точке по знаку «–» нормального напряжения от действия сжимающей продольной силы, делаем вывод о том, что опасной точкой сечения «D» является точка «H».

3. Определим напряжения в опасных точках сечений «С» и «D», чтобы выявить, какая из них опаснее. При этом определим в этих точках только составляющую напряжения от изгиба, отбросив слагаемое от действия продольной силы.

, где М_Х=3F, .

Подставив эти выражения в формулу для напряжения, получим:

.

, где , М_Х=F, M_Y=F, т.е. тогда , а

.

Сравнивая напряжения в точках «Р» и «Н», приходим к выводу, что самой опасной точкой на балке круглого сечения является точка «Р», из условия прочности в которой определим величину допускаемой нагрузки:

кН.

Определим напряжение в опасной точке «Р» с учетом напряжения от действия продольной силы :

.

Процент перегруза составляет:

допускаемого перегруза.

Задача решена.

Задача 2

Используя схемы балки и сложного сечения из задачи Практического занятия №7 (стр. 111) и учитывая действие продольной растягивающей силы F:

Требуется:

1. Оценить влияние продольной силы на величину характерного размера поперечного сечения (хрупкий материал, , );

2. Определить величину смещения нейтральной линии под действием продольной силы F.

РЕШЕНИЕ

В задаче Практического занятия №7 данная балка находилась под воздействием только изгибной нагрузки (действие продольной силы F не учитывалось). Там из условия прочности при прямом изгибе мы подобрали минимально допустимое значение параметра а, определяющего размер заданного сложного сечения: . При этом нейтральная линия сечения проходила через его центр тяжести и совпадала с главной центральной осью x:

Добавление растягивающей продольной силы к заданной изгибной нагрузке приводит к незначительному увеличению наибольшего значения напряжения в опасных точках опасного сечения, а также к смещению нейтральной линии от центра тяжести.

1. Найдем перенапряжение от действия продольной силы F и оценим, стоит ли увеличивать при этом значение . При этом значении параметра, согласно условию прочности при изгибе, наибольшее напряжение в опасных точках растянутой зоны опасного сечения равно . Добавив растягивающую силу F, мы тем самым увеличиваем значение наибольшего напряжения на величину:

,

где внутренняя продольная сила , а площадь A сложного сечения в долях параметра а мы определяли в Практическом занятии №6 как алгебраическую сумму площадей простых сечений, составляющих наше сложное (прямоугольника (А₁), треугольников (2А₂) и полукруга (А₃) (см. стр. 104)):

Тогда окончательно:

.

Переведем это значение в проценты по отношению к :

Таким образом, перенапряжение от добавления продольной силы составило всего лишь 1,45% по отношению к допускаемому напряжению. Методы сопротивления материалов имеют пятипроцентную погрешность, кроме того, допускаемое напряжение рассчитывается с учетом запаса прочности, поэтому разрешается превышать значение допускаемого напряжения, но не более чем на 5%. В нашем случае перенапряжение составило 1,45%, что меньше допустимых 5%. Следовательно, значение характерного размера можно не увеличивать, а оставить прежним.

2. Определим величину смещения нейтральной линии под действием продольной силы F. Напряжение, возникающее от действия изгибающего момента , распределяется по высоте поперечного сечения по линейному закону, причем, нулевое напряжение действует в точках, лежащих на нейтральной линии, совпадающей с главной центральной осью х. В точках, лежащих выше оси х, напряжение положительное (растянутая зона), в точках, лежащих ниже нейтральной линии, напряжение отрицательное (зона сжатых волокон). При добавлении растягивающей продольной силы F, напряжение во всех точках сечения изменяется на величину . Это приводит к тому, что растянутая зона увеличивается, а сжатая уменьшается, нейтральная линия при этом смещается вниз по оси на величину :

Величину можно вычислить двумя способами. Во-первых, геометрически, из подобия прямоугольных треугольников, лежащих в растянутой зоне на эпюрах и (см. рисунок):

.

Во-вторых, эту же величину можно вычислить по формуле, вытекающей из уравнения нейтральной линии для случая совместного действия изгиба и растяжения-сжатия:

.

Здесь: – продольная сила, – площадь сложного сечения, – главный центральный момент инерции сложного сечения (его вычисление – см. стр. 106), – изгибающий момент в опасном сечении балки. Тогда:

Задача решена.

3.6.3. Задача для самостоятельного решения на занятии

Данная балка, изготовленная из хрупкого материала ( , ), воспринимает действие изгибных нагрузок и продольной растягивающей силы:

Поперечное сечение балки сложное, положение его центра тяжести известно:

Характерный размер сложного сечения а был определен из условия прочности от действия только изгибной нагрузки: .

Требуется:

3. Оценить влияние продольной силы на величину характерного размера поперечного сечения ;

4. Определить величину смещения нейтральной линии под действием продольной силы F.

3.6.4. Потренируемся?

· Пройти тестовый тренинг (Приложение 2, тесты к ПЗ №10, стр.239)

· Решить задачу 3.4 из РПР №3 (Приложение 4, стр.287)

Модуль №4
Расчет на прочность и жесткость при кручении

Цель занятий в модуле:

Научиться рассчитывать на прочность и жесткость стержневые конструкции круглого поперечного сечения, работающие в условиях кручения.

Необходимые знания для достижения цели:

1. Условие прочности по допускаемому напряжению при кручении.

2. Алгоритм расчета на прочность.

3. Алгоритм построения эпюры углов закручивания поперечных сечений конструкции.

4. Условие жесткости при кручении по абсолютному и по относительному углам закручивания.

5. Алгоритм расчета на жесткость.