Каноническая форма задачи ЛП

Для численного решения задачи ЛП требуется предварительно привести ее к каноническому виду:

(1)

………………………

Каноническая форма (КФ) (1) задачи характеризуется следующими тремя признаками:

― однородная система ограничений в виде системы уравнений;

― однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче;

― минимизация (максимизация) целевой функции.

Известно, что для произвольной задачи ЛП можно построить эквивалентную ей каноническую задачу ЛП (эквивалентность двух задач означает, что оптимальному решению одной задачи соответствует оптимальное решение другой)[1,2,3].

Пример построения канонической формы

Привести задачу к КФ на минимум:

(2)

В данной задаче (2) нарушены все три признака КФ.

1. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Для этого введем в первое и второе ограничения неотрицательные переменные y_1, y₂, которые называются дополнительными или слабыми. В результате система ограничений запишется в следующем виде:

(3)

2. Условия неотрицательности в (3) не выполняются только для переменной x₂. Для приведения задачи к однородным условиям неотрицательности можно воспользоваться двумя приемами.

Первый прием. Представим переменную x₂ в виде разности двух неотрицательных переменных: После преобразования системы ограничений и целевой функции получим задачу

(4)

Второй прием. Найдем из какого-либо уравнения (4) переменную x₂. Пусть из первого уравнения . Подставим это выражение во все уравнения и в целевую функцию, исключив таким образом переменную x₂ из задачи. Получим

(5)

3. Переход к задаче минимизации целевой функции L в задаче (5) осуществляется путем введения новой функции из равенства

в первом случае,

во втором случае.

1.3. Общие рекомендации к графическому решению задач ЛП

1. Графически могут решаться [1]:

a) задачи, заданные в произвольной форме, содержащие не более двух переменных;

b) задачи, заданные в канонической форме, с числом свободных переменных ;

c) задачи в произвольной форме записи, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных переменных .

2. Основной формой для графического решения является 1-й тип задач. Поэтому, если встречается 2-й или 3-й тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к первому типу.

3. Решение задач 1-го типа выполняется в два этапа:

этап 1 – построение области допустимых решений;

этап 2 – построение в допустимой области оптимального решения.

4. При построении области допустимых решений может встретиться один из трех случаев:

а) пустая область – задача не имеет решения из-за несовместности системы ограничений в области допустимых решений;

б) выпуклый многоугольник – задача всегда имеет оптимальное решение;

в) неограниченная выпуклая многогранная область – в зависимости от направления вектора c (вектора коэффициентов целевой функции L) задача может иметь или не иметь решение. Последнее связано с неограниченностью целевой функции в области допустимых решений.

5. Если оптимальное решение существует, то возможен один из трех исходов:

а) оптимальное решение единственное и совпадает с одной из вершин области;

б) оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины области и :

в) оптимальные решения соответствуют всем точкам допустимого луча, исходящего из вершины области :

Пример графического решения

Решить графически задачу ЛП, заданную в канонической форме:

(6)

(7)

(8)

Число уравнений задачи m=3, число неизвестных n=5. Тогда n-m=2 и задача может быть сведена к задаче на плоскости относительно свободных переменных. Возьмем в качестве базисных переменные и выразим их через свободные (небазисные переменные):

(9)

По условию (8) переменные могут принимать только неотрицательные значения, т. е. допустимой областью задачи ЛП (6) - (8) будет область, определяемая условиями (8), (9), или

(10)

Чтобы получить задачу ЛП относительно переменных , подставим значения базисных переменных (9) в целевую функцию (6). В результате получим

(11)

Задача (10), (11) эквивалентна задаче (6) - (8), поэтому решая графически задачу (10), (11), получим решение задачи (6) - (8).

Этап 1. Построение допустимой области.

Каждое из неравенств (10) определяет некоторую полуплоскость :

Так, неравенство определяет правую полуплоскость. Неравенство определяет полуплоскость, лежащую по ту сторону от прямой , где . Подставляя значения в это неравенство, получим 0>-2, значит, координаты (0,0) удовлетворяют первому неравенству (10) и область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично определяют полуплоскости остальных неравенств (10).

На рисунке прямые, соответствующие условию , отмечены цифрой в скобках.

Получили допустимую область M – выпуклый пятиугольник OABCD.

Этап 2. В допустимой области M находим оптимальное решение.

Строим прямую и определяем направление возрастания функции , это направление вектора . Перемещая прямую L параллельно самой себе в направлении вектора до тех пор, пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений, найдем, что в крайнем возможном положении прямая L пройдет через точку . Этому положению прямой L соответствует значение . Для нахождения координат точки необходимо совместно решить систему уравнений граничных прямых, на которых лежит точка :

В результате получаем искомое оптимальное решение . Подставляя значения и в целевую функцию и в равенства (9), получим оптимальное значение целевой функции и оптимальное решение: