Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).

Задание.

Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

• Линейные алгебраические уравнения.
• Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.
• Иррациональное уравнения.
• Экспоненциальные и логарифмические уравнения.
• Тригонометрические уравнения.
• Неравенства.
• Системы линейных уравнений.
• Нелинейные уравнения и системы уравнений.

Линейные алгебраические уравнения.

Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством G_x, a из G_a , b из G_b называется линейным уравнением.

Этапы решения при помощи Mathcad:

1. Ввести уравнение (знак "=" вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).

2. Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.

3. Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).

При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.

Нормальный случай.

В качестве решения MathCAD выдает число - это означает,

что уравнение однозначно разрешимо (однозначное решение линейного уравнения над множеством действительных чисел, которое одновременно является областью определения этого уравнения).

Решение отсутствует.

Рассмотрим другой пример:

После выполнения описанных выше действий для нахождения решения Mathcad выдает сообщение о том, что решение не найдено.

Проанализировав данное уравнение приходим к выводу, что выданное Mathcad сообщение означает, что решений нет L={}.

MathCAD выдает сообщение "Решение не найдено", даже если уравнение имеет "формальное решение", которое не принадлежит области определения (смотри примеры ниже).

Многозначность.
Если в качестве решения MathCAD выдает имя переменной, это означает, что множество решений уравнения совпадает с областью определения. Однако, такие понятия, как множество решений уравнения и область определения, отсутствуют в MAthCAD и он не выписывает оболасть определения. Вы можете найти область определения, решая с помощью Mathcad систему неравенств или уравнений

Такой результат, выданный Mathcad после выполнения действий по решению уравнения, означает, что любое значение x из базового множества удовлетворяет этому уравнению, т. е. L=R.

Дробные уравнения

Команда Solve (Вычислить) из подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы)выдает множество решений: L = {6}.

Решение 6 копируем в буфер, а затем выделяем маркером переменную x и активизируем команду Substitute (Замена) подменю Variable (Переменные) менюSymbolics (Символы) для замены переменной значением 6.

Рассмотрим другой пример: Последнее уравнение (рисунок справа) условно эквивалентно уравнению:2x=4. Решение уравнения Mathcad: 2. Формальное решение x = 2 не входит в область допустимых значений. Mathcad выдает правильное сообщение!

Здесь также правильное решение: множество решений совпадает с областью допустимых значений L = D. Только следует учесть, что D={R\{-1,1}}.

Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.

Определение: Уравнение P(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-го порядка, если P(x) представляет собой полином степени n, при n=2 данное уравнение называется квадратным уравнением.

При решении такого рода уравнения необходимо выполнить те же действия, что и при решении линейных уравнений.

Квадратное уравнение.

Команда Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) дает решение в виде вектора: L={-2, -4}. <

Аналогичный результат можно получить, используя директивы системы Smartmath.

Для этого необходимо включить панель символьных преобразований и после ввода выражения нажать кнопку со словом solve. В шаблоне, появившемся после вставки ключевого слова, необходимо указать переменную, относительно которой решается уравнение.

Другой способ решения заключается в использовании команды Factor (Фактор) меню Symbolics (Символы) для разложения полинома на множители в соответствии с теоремой Виета:

Отметим, что при иррациональных и комплексных решениях команда Factor (Фактор) меню Symbolics (Символы) не работает.Но MathCAD находит и такие решения при использовании команды Solve