Тема: Составление уравнений прямых, их построение
Цель: Формирование навыков составления уравнений прямых, их построения
Время выполнения: 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Уравнение первой степени относительно переменных 
и 
, то есть уравнение вида 
при условии, что коэффициенты 
и 
одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.
Уравнение вида 
называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение 
.
Каноническое уравнение прямой записывается в следующем виде 
, где 
и 
- координаты направляющего вектора прямой.
Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид 
, где 
и 
- соответственно абсцисса, и ордината точек пересечения прямой с осями 
и 
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид 
, где 
- угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси , а - ордината точки пересечения прямой с осью .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
в заданном направлении, имеет вид 
, где - угловой коэффициент прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и 
, имеет вид 
. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , находится из соотношения 
.
Пример
Задание 1: Построить прямую 
.
Решение: Найдем точки пересечения прямой с осями и .
Пусть 
.
Пусть 
.
Изобразим найденные точки на координатной плоскости и соединим их, таким образом, получим прямую заданную уравнением (рис. 1).
Рисунок 1 - График прямой
Задание 2: Построить прямую 
.
Решение: Перепишем уравнение в виде: 
, то есть 
и 
. Таким образом, получаем точки 
и 
, прямая проходящая через точки и является искомой (рис. 2).
Рисунок 2 - График прямой .
Задание 3: Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку 
.
Решение: Вектор 
коллинеарен искомой прямой. Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой: 
. Таким образом, подставив в данное уравнение 
, 
, 
, 
получим искомое уравнение прямой проходящей через начало координат и точку :
.
Задание 4: Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку 
и перпендикулярной данному вектору 
.
Решение: Пусть 
- произвольная точка искомой прямой. Вектор 
перпендикулярен вектору . Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть 
. Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим:
.
Уравнение искомой прямой имеет вид 
.
Задания для практической работы
1. Проверьте, принадлежат ли точки 
, 
, 
и 
прямой 
.
2. Постройте фигуру, ограниченную линиями 
, , 
и . Вычислите площадь этой фигуры.
3. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках на осях и постройте данные прямые:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку 
.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку 
и перпендикулярной данному вектору 
.
5. Составьте уравнение прямой, перпендикулярной вектору 
и проходящей через точку пересечения прямых 
и 
.
6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 
и 
параллельно прямой 
.
7. Даны координаты вершин треугольника 
: 
, 
, 
. Запишите уравнения прямых, на которых расположены:
а) медиана 
;
б) высота 
этого треугольника.
8. В треугольнике из вершины проведены высота и медиана (рис. 3). Даны: вершина 
, уравнение высоты 
и уравнение медианы 
. Найти координаты вершины 
.
Рисунок 3 - Треугольник
Контрольные вопросы:
1. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?
2. Какой вид имеет векторное уравнение прямой?
3. Какое уравнение называется каноническим уравнением прямой?
4. Запишите уравнение прямой в отрезках на осях и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
5. Какой вид имеют уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и прямой, проходящей через две данные точки?
6. Запишите условие параллельности двух прямых.
7. Запишите условие перпендикулярности двух прямых.
Рекомендуемая литература: 1.1[с. 300-308], 1.2[с. 304-326], 1.3[с. 52-62], 2.1[с. 6-15].
Практическая работа №7