Определение радиуса кривизны траектории по заданным уравнениям движения точки
Рассмотрим алгоритм решения такой задачи. Пусть движение точки задано в координатной форме:
Для определения радиуса кривизны траектории необходимо вычислить квадрат скорости точки и её нормальное ускорение:
Квадрат полного ускорения точки вычисляем по формуле:
Учитывая, что нормальная и касательная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, находим
Отсюда:
.
Квадрат скорости точки определяем по формуле:
Для определения касательного ускорения продифференцируем по времени последнее соотношение:
или
Здесь – проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Заметим, что
.
Пример 1.7
Движение точки задано уравнениями
Определить радиус кривизны траектории для любого момента времени.
Вычислим квадрат скорость точки: .
Вычислим квадрат ускорения точки: .
Равенство принимает вид:
.
Отсюда:
.
Нормальное ускорение равно
.
Определяем радиус кривизны траектории
Пример 1.8
Определить радиус кривизны траектории снаряда, движение которого описано в примере 1.2.
Применительно к задаче о движении снаряда получаем:
Заметим, что направление движения снаряда по траектории со временем не изменяется. Направим орт касательной по направлению вектора скорости. Тогда проекция вектора скорости на направление орта касательной к траектории положительна в любой момент времени.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 10.4; 12.1; 12.6; 12.7; 12.9; 12.10.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-17;
СР-18: СР-19.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Простейшие движения твёрдого тела
Пример 2.1
Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу . Касательное ускорение этой точки в данный момент времени
Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии
Радиус махового колеса
![]() |
Рис. 2.1 |
Нормальное ускорение точки направлено по радиусу (Рис. 2.1), следовательно,
Отсюда:
Используя формулы,
получаем:
;
Пример 2.2
Вал радиуса приводится во вращение гирей, прикрепленной к концу троса, намотанного на вал. Определить модуль ускорения точки обода вала, если ускорение гири
(Рис.2.2). В начальный момент вал находился в покое.
![]() |
Рис. 2.2 |
Точки троса, покинув поверхность вала, движутся прямолинейно равноускоренно:
Поскольку трос не проскальзывает по поверхности вала, скорости точек троса и вала совпадают.
Используя формулу Эйлера, находим угловую скорость вала
и его угловое ускорение
Теперь определяем составляющие ускорения любой точки обода вала:
Остается определить модуль ускорения точки
Заметим, что если скорости точек троса и вала совпадают, то их ускорения различны: точка
вала имеет нормальную составляющую ускорения, поскольку движется по криволинейной траектории.
Пример 2.3
Стрелка гальванометра длиной колеблется вокруг неподвижной оси по закону
Определить ускорение конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, если период колебаний
, а угловая амплитуда
Прежде всего, зная закон вращения, определим угловую скорость и угловое ускорение тела:
Используя формулы (2.3), определяем касательное и нормальное ускорения точки:
Период связан с круговой частотой соотношением 2 .
Для среднего положения стрелки имеем:
Для крайних положений стрелки имеем:
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 13.6; 13.14; 13.17; 13.18; 14.4; 14.5; 14.10.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 4-5