Полная система уравнений идеальной жидкости

Полная система уравнений идеальной жидкости включает, во-первых, универсальную систему, которая для идеальной жидкости имеет вид:

Уравнение неразрывности

Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)

Уравнение притока тепла

Второй закон термодинамики

где – плотность внутренней энергии;

– приток тепла к единице массы за единицу времени;

– температура;

– энтропия.

Уравнение движения идеальной жидкости называется уравнением Эйлера.

Обычно приток тепла определяется законом Фурье, поэтому неизвестных в этой системе 8:

а уравнений – 6, следовательно, нужны еще 2 соотношения, которые определяют конкретную жидкость или газ. Эти два отношения называются уравнениями состояния. Обычно они представляют собой: 1) связь между давлением, плотностью и температурой, и 2) выражение плотности внутренней энергии как функции плотности и температуры, то есть следующие соотношения:

1) - уравнение состояния,

2) – калорическое уравнение состояния.

Рассмотрим различные уравнения состояния для жидкостей и газов.

В области нефтяной и газовой промышленности, преимущественно уравнение состояния описывает связь между плотностью флюида и давлением в виде .

Для жидкостей при больших изменениях давления от начального значения P₀ до текущего значения P плотность жидкости может быть определена по формуле:

где – объемный коэффициент упругости жидкости,

– плотность жидкости при давлении P₀.

Так как значение выражения обычно много меньше единицы, то при разложении экспоненты в ряд Тейлора, ограничиваясь линейным приближением, можно записать уравнение состояния в виде

Данная форма записи обычно используется при определении плотности жидкости при малых изменениях давления P.

Для газов уравнение состояния играет очень важную роль в силу сильной сжимаемости. Самой простой моделью газа является совершенный газ.

Совершенным газом называется такой газ, в котором согласно молекулярно-кинетической теории выполнены следующие условия:

· Потенциальной энергией взаимодействия частиц газа можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией;

· Суммарный объем частиц газа пренебрежимо мал;

· Отсутствуют силы взаимодействия между частицами, а соударения частиц между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;

· Время взаимодействия между частицами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Совершенный газ описывается уравнением состояния Менделеева-Клапейрона:

где – давление;

– объем;

– масса;

– молярная масса;

– универсальная газовая постоянная;

– температура.

При изотермическом переходе газа из одного состояния в другое, уравнение состояния Менделеева-Клапейрона удобнее записать в виде:

где – плотность газа при атмосферном давлении .

Примечание. В физике используется термин «идеальный газ». Однако в механике сплошных сред термины «идеальный газ» и «идеальная жидкость» заняты. Они означают, что касательные напряжения (вязкость) в этой модели не учитываются. Поэтому для газа, удовлетворяющего уравнению Менделеева-Клапейрона, вместо названия «идеальный газ», принятого в физике, используется название «совершенный газ» (perfect gas).

Использовать уравнение состояния совершенного газа целесообразно лишь при низких давлениях, так как в этом случае реальные газы согласуются с введенным определением совершенного газа. В случае высоких давлений и возможных фазовых переходах, использование уравнения состояния совершенного газа невозможно. В этом случае часто используют полуэмпирически выведенные уравнения состояния. Например, уравнения состояния Ван-дер-Ваальса, Дитеричи, Редлиха-Квонга, Пенга-Робинсона и другие.

Наиболее распространенной формой уравнения состояния для реальных газов является уравнение состояния Менделеева-Клапейрона с коэффициентом сверхсжимаемости z(P):

или в случае изотермического перехода

где z(P) характеризует степень отклонения реального газа от совершенного. Характерная зависимость коэффициента сжимаемости для углеводородной смеси в терминах приведенной температуры и давления представлена на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Зависимость коэффициента сверхсжимаемости z(P) от приведенного давления

С молекулярно-кинетической точки зрения характер изменения коэффициента z(P) можно объяснить следующим образом. При малых значениях давления реальный и совершенный газ близки между собой, поэтому . Увеличение давления в системе ведет к увеличению плотности газа, а, следовательно, уменьшению расстояния между молекулами, что приводит к большей сжимаемости реального газа за счет проявления сил притяжения (которые отсутствуют в совершенном газе), объясняющее уменьшение значения z. Точка минимума на графике z(P) соответствует максимальной интенсивности проявления сил притяжение. Последующее увеличение давления и увеличение коэффициента z связано с сопротивлением газа сжатию, из-за проявления сил межмолекулярного отталкивания. Определение зависимости коэффициента сверхсжимаемости z от давления P является важной задачей, так как позволяет наиболее точно характеризовать газовую смесь и определить возможный момент конденсации газа в жидкое состояние.