Канонический анализ уравнения регрессии

Приведение уравнения к канонической форме и его анализ подробно излагается в курсе аналитической геометрии. Рассмотрим задачу с двумя независимыми переменными [2]:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru 2 . (6)

В канонической форме (6)имеет вид:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru (7)

Эта запись соответствует переносу начало координат в точку S и замене старых координатных осей х1 и х2 новыми осями Х1 и Х2, повернутыми на некоторый угол относительно старых осей. Ys – значение выхода в новом начале координат S. Придавая Y некоторые фиксированные значения получаем контурные кривые равного выхода.

Возможны четыре типа контурных кривых: эллипсы, гиперболы, параллельные прямые, параболы.

Эллипсы: B11 и B22 имеют одинаковые знаки. Центр фигуры максимум, если коэффициенты отрицательны и минимум, если они положительные. Если B22 по абсолютной величине меньше, чем B11, то эллипс вытянут по оси Х2. Поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид (рисунок 1).

Гиперболы: B11 и B22 имеют разные знаки. Если |B11| < |B22|, то контурные кривые вытянуты по оси X2. Выход Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru увеличивается при движении от центра S по одной оси и падает при движении вдоль второй оси. Центр фигуры - седло. Поверхность отклика представляет гиперболический параболоид. Попав в седловину исследователь изучает поверхность отклика в направлении осей Х2 если его интересует максимум или оси Х1, если его интересует минимум. Здесь, как и в методе крутого восхождения, намечаются мысленные опыты, и часть из них реализуется.

Х1
Х2
60%
80%
Х1
Х1
Х2
80%
80%
60%
60%

Эллипсы Гиперболы

Рисунок 1 – Кривые равного выхода поверхности отклика

(типа эллипса и гиперболы)

Параллельные кривые. Один из коэффициентов равен нулю B22=0. Ys – выход в любой точке на оси Х2. Под определение центра фигуры попадает любая точка на оси Х2. Поверхность отклика представляет стационарное возвышение (рис. 2).

X2
80%
80%
70%
70%
60%
60%
60%

Рисунок 2 – Стационарное возвышение В22=0, B11<0.

Параболы. Один из коэффициентов равен нулю В22=0, центр находится на бесконечности. Перенеся начало координат, в какую нибудь выбранную точку S/ вблизи центра эксперимента, получаем уравнение параболы:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru (8)

Центр находится в бесконечности, B2 - крутизна наклона возвышения (рис. 3).

Практически возможны случаи, когда центр фигуры удален за перделы области, в которой варьировались переменные и один из коэффициентов В11 или В22 мало отличается от нуля [2]. В этом случае поверхность отклика, в зависимости от наклона возвышения, будет аппроксимироваться стационарным или возрастающим возвышением.

Условный экстремум в части факторного пространства, где проводиться эксперимент, может отыскиваться при ограничениях, накладываемых:

- сферой Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru с центром в особой точке S;

- сферой с центром эксперимента;

- радиусом Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru который задается точками планирования.

 
Х1
Х2
80%
60%
40%

Рисунок 3 – Возрастающее возвышение, В11<0, B22=0, центр

в бесконечности.

Для отыскания условного экстремума в заданной области можно так же воспользоваться методом перебора всех комбинаций факторных переменных, квантуя переменные некоторым образом.

Пример 2.

Для описания поверхности отклика использовалось ротатабельное планирование второго порядка с величиной звездного плеча, равного α=2,0. Стационарная область описывалось уравнением регрессии:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Была найдена каноническая форма уравнения:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Центр фигуры S имеет координаты:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru .

попадающие в область варьирования факторных переменных. Зависимая переменная в центре новых координат S имеет величину Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru .

Переход от старых координат к новым задается соотношениями:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Исследуемая поверхность отклика относиться к типу «минимакса»: при движении в направлении новых осей Х1 и Х3 переменная У увеличивается, а в направлении Х2 и Х4 – уменьшается.

Для поиска максимума y=100% надо «выползать» из точки S, двигаясь вдоль Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru Для нахождения координат: это четырех точек нужно решить системы уравнений:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru
Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru
Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru
Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Проводя восхождение, находим точки локального экстремума:

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Канонический анализ уравнения регрессии - student2.ru

Подставляя координаты этих точек в исходное уравнение регрессии, находятся выходы 100.32%; 100,73%; 99,78%; 100,78%. Из четырех точек только одна оказалась далеко удаленной от области факторного пространства, в которой производились эксперименты.



Наши рекомендации