Минимизация частично определенных функций
Пусть функция f(x1,…,xn) частично (не всюду) определена. Если f не определена на p наборах из 0 и 1, то существует 2p возможностей для доопределения функции f. Полностью определенная функция g (x1,…,xn) есть доопределение функции f, если g совпадает с f на тех наборах из 0 и 1, на которых f определена.
Задача минимизации частично определенной функции f сводится к отысканию такого доопределения g функции f, которое имеет простейшую (по числу букв ) минимальную форму.
Обозначим через f0(x1,…,xn) и f1(x1,…,xn) доопределения нулями и единицами соответсвенно частично определенной функции f(x1,…,xn).
Теорема.Минимальная ДНФ частично определенной функции f(x1,…,xn) есть дизъюнкция самых коротких импликант в сокращенной ДНФ доопределения f1(x1,…,xn), которые в совкупности накрывают все конституенты единицы доопределения f0(x1,…,xn).
Доказательство. Рассмотрим СДНФ некоторого доопределения g(x1,…,xn) функции f(x1,…,xn). Конституенты единицы, входящие в эту форму, войдут и в СДНФ доопределения f1. Поэтому любой простой импликант функции g будет совпадать с некоторым импликантом функции f1 или накрываться им. Самые короткие импликанты , накрывающие единицы функции f , есть импликанты функции f1. Доопределение f0 имеет минимальное количество конституент единицы в своей СДНФ , следовательно , и количество простых импликант функции f1 , потребных для накрытия этих конституент , будет наименьшим . ДНФ , составленная из самых коротких простых импликант в сокращенной ДНФ функции f1 , накрывающих все конституенты единицы функции f0 , будет самой короткой ДНФ, доопределяющей функцию f .
Так как единицы функции f1 составлены из единиц функции f и единиц на наборах , на которых f не определена , то построенная ДНФ , накрывая все единицы функции f0 ( а , следовательно , и все единицы функции f ) , совпадает с минимальной ДНФ некоторого доопределения g функции f .
Алгоритм минимизации частично определенных функций
В классе ДНФ
1. Строим СДНФ функции f0 .
2. Строим сокращенную ДНФ функции f1 .
3. С помощью матрицы покрытий коституент единицы функции f0 простыми импликантами функции f1 и решеточного выражения строим все тупиковые ДНФ (для некоторых доопределений функции f ) .
4. Среди полученных ТДНФ выбираем простейшие, они являются минимальными ДНФ ( для некоторых доопределений функции f ) .
Алгоритм минимизации частично определенных функций
В классе КНФ
Построение минимальных КНФ для частично определенной функции аналогично построению минимальных КНФ для всюду определенной функции.
Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе нормальных форм аналогичен алгоритму минимизации в классе нормальных форм для всюду определенных функций.
Пример 1.В классе нормальных форм минимизировать частично определенную функцию f ( x, y, z, t ) = (1---010010-01--1)
Решение. Минимизируем функцию f в классе ДНФ.
1. Строим сокращенную ДНФ для доопределения единицами f1 функции f по таблице 3.9.
Таблица 3.9
| x y z t | f f0 f1 `f h0 h1 |
| 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 | 1 1 1 0 0 0 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 1 1 1 0 0 0 |
2. Строим матрицу покрытий коституент единицы в СДНФ для доопределения нулями f0 функции f с помощью построенной сокращенной ДНФ для f1 ( таблица 3.10)
Таблица 3.10
| N | ПИ |  |  |  |  |  |
 | + | + | ||||
 | + | |||||
 | + | + | ||||
 | + | + | ||||
 | + | |||||
 | + |
3. По таблице строим решеточный многочлен
E = (2Ú4)(5Ú6)(3Ú4)(1Ú3)1 = 145 Ú 125 Ú 146 Ú 1236.
4. Строим все тупиковые ДНФ :
5. Из построенных тупиковых ДНФ выбираем минимальные :
Функции g1 и g3 есть минимальные доопределения функции f в классе ДНФ.
Минимизируем теперь функцию f в классе КНФ. Для этого проведем минимизацию функции `f в классе ДНФ Пусть h0 и h1 есть доопределение нулями и единицами соответственно функции `f .
Сокращенная ДНФ для
Матрица покрытия конституент единицы в СДНФ для h0 с помощью простых импликант в сокращенной ДНФ для h1 приведена в таблице 3.11.
Таблица 3.11
| N | ПИ |  |  |  |  |  |
 | + | + | ||||
 | + | + | ||||
 | + | |||||
 | + | |||||
 | + | + | ||||
 | + |
3. Решеточное выражение E=5 (2 Ú 3 Ú5) 2 (1Ú 4)(1Ú 6) = 25(1Ú 46) = 125 Ú 2446.
4. Строим две тупиковые ДНФ:
и 
Минимальная.
5. Функция 
есть минимальное доопределение функции f в классе КНФ.
Найденные МДНФ g1 , g3 и МКНФ 
являются минимальными доопределениями функции f в классе нормальных форм.
Техническая реализация минимальных форм для функции часто проще, а потому дешевле реализации ее СДНФ ( СКНФ ) . Следовательно, этап минимизации при конструировании логических схем является одним из важнейших.