Разложение булевой функции по переменным

Обозначим через . Тогда

x^s=

В частности, тогда и только тогда, когда .

С помощью “степенной функции” всякую булеву функцию можно представить в виде:

называемом разложением булевой функции по переменной .

В самом деле, если , то , и

Если , то , и

Пример 4.

Разложим функцию по переменной . Для этого сначала построим таблицу функции :

Из таблицы видно, что и .

Используя формулу разложения по переменной , находим

Итак,

Пример 5.

Разложим функцию из примера 4 по всем переменным. Так как функция принимает значение 1 на трех наборах: , то согласно следствию из теоремы о разложении, имеем

Итак,

Определение 3.

Разложение булевой функции по всем переменным в виде

называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Пример 6.

- СДНФ для функции (см. пример 5).

Теорема 2.

Всякая булева функция (кроме 0) имеет единственную СДНФ.

Доказательство. Согласно следствию из теоремы о разложении

Замечание. Если под дизъюнкцией одного слагаемого понимать само это слагаемое, то дизъюнкции нуля слагаемых не существует, поэтому не существует СДНФ для функции 0.

При построении СДНФ имеет место следующее

Правило единицы. Рассматриваются только те наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1; для каждого такого набора в СДНФ делается заготовка слагаемого . Если в данном наборе аргументов , то над переменной в заготовленном слагаемом навешивается отрицание: .

Теорема 3.

Всякая булева функция может быть выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание:

.

Доказательство.

Если , то . Если , то

.

Теорема 4.

Всякая булева функция (кроме 1) может быть единственным образом выражена в виде совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):

.

Доказательство.

Если , то и

.

Применив к последнему тождеству принцип двойственности, находим

При построении СКНФ имеет место следующее

Правило нуля. Рассматриваются только те наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0; для каждого такого набора в СКНФ делается заготовка сомножителя . Если в данном наборе аргументов , то над переменной в заготовленном сомножителе навешивается отрицание: .

Пример 7.

Построим функцию для импликации: . Импликация принимает значение 0 на одном наборе:

.

Так как в этом наборе и , то по правилу нуля получаем

.

Итак, - искомая функция для импликации.

Полнота системы

Определение 4. Система функций {f₁, f₂, ..., f_s, ...}ÌP₂ называется полной в Р₂, если любая функция f(x₁, ..., x_n) Î P₂ может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Полные системы

1. P₂ – полная система.

2. Система M={x₁&x₂, x₁Úx₂, } – полная система, т.к. любая функция алгебры логики может быть записана в виде формулы через эти функции.

Пример 8. Неполные системы: { }, {0,1}.

Лемма (достаточное условие полноты)

Пусть система U = {f₁, f₂, ..., f_s, ...} полна в Р₂. Пусть B = {g₁, g₂, ..., g_k, ...} – некоторая система из Р₂, причем любая функция f_i Î U может быть выражена формулой над B, тогда система B полна в Р₂.

7. Система {x₁&x₂, x₁Åx₂, 0, 1} полна в Р₂, U = {x₁&x₂, }, = x₁Å1.

Полином Жегалкина

f(x₁, ..., x_n) Î P₂, представим ее в виде формулы через конъюнкцию и сумму по модулю два, используя числа 0 и 1. Это можно сделать, так как {x₁&x₂, x₁Åx₂, 0, 1} полна в Р₂. В силу свойства x & (yÅz) = xy Å xz можно раскрыть все скобки, привести подобные члены, и получится полином от n переменных, состоящий из членов вида х х ...х , соединенных знаком Å. Такой полином называется полиномом Жегалкина.

Общий вид полинома Жегалкина:

где , s = 0, 1, ..., n, причем при s = 0 получаем свободный член а₀.

Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над {x₁&x₂, } и сделаем замену =xÅ1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 9. (x₁ (x₂ x₃))(x₁ Ú x₂) x₃ = (x₁Ú x₂ Ú x₃)(x₁ Ú x₂) x₃ = (`x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> Ú x<sub>1</sub>x<sub>3</sub> Ú x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> Ú x<sub>2</sub> Ú x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>)x<sub>3</sub> = (`x₁x₃ Ú x₂)x₃ = x₁x₃ x₂ x₃ = ((x₁x₃Å1)x₂Å1)x₃ = x₁x₂x₃Åx₂x₃Åx₃.

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 10.

Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x₁, x₂, x₃) = (01101001) = а₀ Å а₁х₁Å а₂х₂Å а₃х₃Å b₁x₁x₂Å b₂x₂x₃Åb₃x₁x₃Åcx₁x₂x₃. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а₀, отсюда а₀ = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а₀ Å а₃, т.к. а₀ = 0, отсюда а₃ = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а₂, f(0, 1, 1) = 0 = а₂ Å а₃ Å b₂ b₂ = 0; а₁ = 1; 0 = а₁ Å а₃ Å b₃ , b₃ = 0; 0 = а₁ Å а₂ Å b₁ , b₁ = 0; 1 = 1 Å 1 Å 1 Å c; c = 0; тогда полином Жегалкина для данной функции примет вид: f(x₁, x₂, x₃) = x₁ Å x₂ Å x₃.

Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответствует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x₁x₃. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.

N	x1x2x3	f	Треугольник Паскаля
x3 x2 x2x3 x1 x1x3 x1x2 x1x2x3			1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0

Тогда

Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

, s = 0, 1, ..., n.

Доказательство.

Любая функция из Р₂ может быть представлена формулой над {x₁ & x₂, x₁Å x₂, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f(x₁, ..., x_n) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2ⁿ. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x₁, ..., x_n }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

Определение.

Функция f(x₁, ..., x_n), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а₀ Å а₁х₁ Å а₂х₂ Å ... Å а_nх_n, называется линейной.

Лемма о нелинейной функции.

Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.

Доказательство.

Пусть f(x₁, ..., x_n) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведение x_ix_j. Будем считать для простоты, что x₁x₂ в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функцию f представим в виде

Функция h₀ не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведением x₁x₂. Тогда существует набор (a₃, …, a_n) из 0 и 1, для которого h₀(a₃, …, a_n) = 1. Пусть h₁(a₃, …, a_n) = a, h₂(a₃, …, a_n) = b, h₃(a₃, …, a_n) = c. Тогда

Построим функцию:

где d = ab Å c. Если d = 0, то h(x₁, x₂) = x₁x₂. Если d = 1, то h(x₁, x₂) = x₁x₂ Å 1 и тогда Лемма доказана.

Функция f(x₁, ..., x_n) сохраняет константу a Î {0, 1}, если f(a, …, a) = a.

Пример 11.

Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция x®y сохраняет 1 и не сохраняет 0.

Минимизация булевых функций

Минимизация нормальных форм

Минимальной ДНФ (МДНФ) функции f(x₁, ... ,x_n) называется ДНФ, реализующая функцию f и содержащая минимальное число символов переменных по сравнению со всеми другими видами ДНФ, реализующими функцию f.

Если для всякого набора = (a₁, ..., a_n) значений переменных условие g( )=1 влечёт , то функция g называется частью функции f (или функция f накрывает функцию g). Если при этом для некоторого набора = (c₁, ..., c_n) функция g( )=1, то говорят, что функция g накрывает единицу функции f на наборе (или что g накрывает конституенту единицы функции f). Заметим, что конституанта единицы функции f есть часть функции f, накрывающая единственную единицу функции f.

Элементарная конъюнкция K называется импликантом функции f, если для всякого набора =(a₁, ..., a_n) из 0 и 1 условие K( )=1 влечет f( )=1.

Импликант K функции f называется простым, если выражение, получающееся из него выбрасыванием любых множителей, уже не импликант функции f.

Ясно, что всякий импликант функции f есть часть функции f.

Теорема 5.

Всякая функция реализуется дизъюнкцией всех своих простых имликант (ПИ).

Доказательство.

Пусть f(x₁, ..., x_n) есть функция, а A = K₁ v ... v K_m – дизъюнкция всех ее простых импликант. Пусть = (a₁, ..., a_n) – произвольный набор длины n из 0 и 1.

Если A( ) = 1, то найдется дизъюнктивное слагаемое K_i ( ) = 1, что влечет f( ) = 1, ибо K_i есть импликант функции f.

Если f( ) = 1, то в СДНФ для функции f найдется элементарная конъюнкция K, равная на этом наборе единице. Один из простых имликантов K_j функции f получается выбрасыванием некоторых множителей из K и потому K_j( ) = 1, а тогда A( ) = 1.

Следовательно, f = A. Теорема доказана.

Сокращенная ДНФ функции f есть дизъюнкция всех простых импликант функции f. Всякая функция f реализуется своей сокращенной ДНФ. Для всякой функции, не равной тождественно нулю, существует единственная сокращенная ДНФ.

Пусть A и B – произвольные формулы. Из свойств булевых операций вытекают следующие обратимые правила преобразования ДНФ:

1) – полное склеивание (развертывание);

2) – неполное склеивание;

3) – обобщенное склеивание;

4) – поглощение;

5) – идемпотентность ( удаление дублирующих членов).

Теорема Квайна. Если в СДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится сокращения ДНФ функции f.

Доказательство.

Пусть имеем сокращенную ДНФ функции f. Проведем все операции развертывания к каждому простому импликанту для получения недостающих переменных в каждом дизъюнктивном слагаемом сокращенной ДНФ. В полученном выражении из нескольких одинаковых дизъюнктивных слагаемых оставим только по одному экземпляру. В результате получим СДНФ функции f. Теперь, исходя из полученной СДНФ, в обратном порядке проведем операции добавления одинаковых дизъюнктивных слагаемых (с помощью правил идемпотентности), неполного склеивания и поглощения. В итоге получим исходную сокращенную ДНФ.