Элементарные функции алгебры логики

Материалы этого приложения базируются на учебниках, пособиях[3, 7, 46, 44, 76, 89 , 52, 16 и информации с интернета]. Основы алгебры логики, которые здесь приведёны, позволят получить более глубокие знания и сократить время на поиск данного материала. В пособии [7, 16] подчёркнуто, что множество {0,1}, элементы которого не являются числами в обычном смысле, хотя по некоторым свойствам и похожи на них. Наиболее распространенная интерпретация двоичных переменных – логическая: «да» – «нет», «истинно» (и) – «ложно» (л), или «1» - «0».

Обозначения: E₂={0,1}; Е = E₂´E₂´...´E₂ – прямое произведение n сомножителей; (x ,..,x_n)Î E₂, | E₂| – мощность E₂, |E₂|=2, тогда |Е |=2ⁿ.

Определение 1. Функцией алгебры логики называется закон, осуществляющий отображение Е E₂, причем отображение всюду определено и функционально.

Так как множество Е конечно, то задать отображение Е Þ E₂, означает задать множество наборов из Е и для каждого набора указать его образ в Е ₂.

Пример 1. Пусть n=2, тогда Е ={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, отображение Е Þ E₂ задано, например, так: (0 0) Þ0 ; (0 1) Þ1; (1 0) Þ1 ; (1 1) Þ1.

Тем самым задана функция, для которой мы будем использовать стандартное обозначение f(x₁,x₂), записывая эту функцию в виде таблицы:

x1	x2	f(x1,x2)

Здесь x₁ и x₂ обозначают названия столбцов, а f – символ, обозначающий отображение. Следует обратить внимание, что функции f(x₁,x₂) и f(y₁,y₂) задают одно и то же отображение, и их таблицы отличаются только названиями столбцов.

Определение 2.Таблица, задающая функцию f(x₁,x₂,...,x_n), называется таблицей истинности для этой функции.

Рассмотрим функции одной переменной. Их будет всего 4, они задаются следующими таблицами истинности:

x	f0(x)

функция называется константой 0, записывается f0(x) 0;

x	f1(x)

функция называется тождественной, записывается f1(x)= x;

x	f2(x)

функция называется «не x» и записывается f2 (x)= ;

x	f3(x)

функция записывается f3(x) 1 и называется константой 1. Если стандарт-ным расположением переменной x считать 0 в первой строке и 1 во второй, то функции f0, f1, f2, f3 определяются однозначно наборами значений: f0=(0,0), f1=(0,1), f2=(1,0) и f3=(1,1). Наборы значений функций составляют множество E2´Е2, поэтому количество функций одной переменной равно |E2 E2|=4. Для удобства функции пронумерованы так, что двоичный код номера совпадает с набором значений функции.

Рассмотрим функции двух переменных f(x₁,x₂). Функции двух переменных определены на множестве Е ={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, эти наборы переменных из Е можно тоже рассматривать как двоичные коды чисел 0,1,2,3, именно такой порядок расположения наборов (x₁,x₂) будем считать стандартным. Тогда функции f(x₁,x₂) определяются однозначно наборами значений (b₁, b₂, b₃, b₄), где каждое b_iÎE₂, поэтому (b₁, b₂, b₃, b₄)ÎЕ . Следовательно, число функций двух переменных равно 2⁴=16, занумеруем их числами от 0 до 15 так, чтобы двоичный код номера совпадал с набором значений функции.

x1 x2

f0

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

0 0 0 1 1 0 1 1

Некоторые из этих функций носят специальные названия и играют такую же роль, как элементарные функции в анализе, поэтому называются элементарными функциями алгебры логики. Перечислим их.

1) f₁(x₁,x₂) = (x₁&x₂), читается «конъюнкция х₁ и х₂», иногда вместо знака & употребляют знак или вообще его опускают, пишут (х₁х₂). (х₁&х₂) совпадает с обычным произведением х₁х₂ и совпадает с min(x₁,x₂). Эту операцию называют также логическим умножением.

2) f₆(x₁,x₂) = (x₁Åx₂) – сложение х₁ и х₂ по модулю два, иногда пишут (х₁+х₂)_mod2.

3) f₇(x₁,x₂) = (x₁Úx₂), читается «х₁ дизъюнкция х₂», она совпадает с max(x₁,x₂), ее называют логическим сложением.

4) f₈(x₁,x₂) = (x_1¯x₂), читается «х₁ стрелка Пирса х₂» и совпадает с отрицанием дизъюнкции, другие названия: функция Вебба, функция Даггера.

5) f₉(x₁,x₂) = (x₁~x₂), читается «х₁ эквивалентно х₂».

6) f₁₃(x₁,x₂)=(x₁ x₂), читается «х₁ импликация х₂», иногда обозначается (х₁Éх₂), т. е. х₁ влечет х₂ .

7) f₁₄(x₁,x₂) = (x₁|x₂), читается «х₁ штрих Шеффера х₂», эта операция или функция является отрицанием конъюнкции.

Символы ,&,Ú,¯,~,® ,Å,|, участвующие в обозначениях элементарных функций, называются логическими связками или просто связками. Переменные 0 и 1 называются логическими или булевыми переменными, причем 0 соответствует «лжи» , а 1 – «истине», а функции алгебры логики называются еще и булевыми функциями.

Рассмотрим функции f(x₁...x_n), где (x₁...x_n)Î Е , тогда число наборов (x₁...x_n), где функция f(x₁...x_n) должна быть задана. Число наборов или ситуаций равно |Е |=2ⁿ. Обозначим множество всех функций двузначной алгебры логики Р₂. Обозначим через Р₂(n) число функций, зависящих от n переменных. Очевидно, что Р₂(n)=2^{2 n}.

С ростом n число Р₂(n) быстро растет: P₂(1)=4, P₂(2)=16, P₂(3)=256, P₂(4)=65536. При больших n табличный способ задания функций становится неприемлемым, используется формульное задание функций. Но прежде чем ввести понятие формулы, дадим определение существенной переменной.

Определение 3. Функция f(x₁,...,x_i–1,x_i,x_i+1,...,x_n) существенно зависит от х_i, если существуют такие значения a₁, ...a_i–1, a_i+1, ...a_n переменных x₁, ...x_i–1, x_i+1, ...x_n, что f(a₁, ...a_i–1, 0, a_i+1...a_n)¹f(a₁...a_i–1, 1, a_i+1...a_n) . Тогда переменная х_i называется существенной переменной. В противном случае х_i называется фиктивной переменной.

Пример 2.

Рассмотрим несколько функций двух переменных

x1	x2	(x1&x2)	f3	f15

Покажем, что (х₁&x₂) существенно зависит от х₁. Рассмотрим наборы (0,1) и (1,1), здесь a₂=1, f(0,a₂)=0 и не равно f(1,a₂)=1. Покажем, что х₂ тоже существенная переменная. Рассмотрим наборы (1,0) и (1,1). Здесь a₁=1, f(1,0)=0 и не равно f(1,1)=1. Для функции f₃(x₁,x₂) покажем, что х₂ – фиктивная переменная, т.е. надо показать, что не существует наборов (a₁,0) и (a₁,1) таких, что f₃(a₁,0)¹f₃(a₁,1). Пусть a₁=0, т.е. рассмотрим наборы (0,0) и (0,1), f(0,0)=f(0,1)=0. Пусть a₁=1, но f(1,0)=f(1,1)=1.

Для функции f₁₅ и x₁ и x₂ являются фиктивными переменными. x₁ – фиктивная переменная, если не существует наборов (0,a₂) и (1,a₂), таких, что f(0,a₂)¹f(1,a₂). Если a₂=0, то f(0,0)=f(1,0)=1. Пусть a₂=1, тогда f(0,1)=f(1,1)=1.

Пусть х_i является фиктивной переменной для функции f(x₁, ..., x_i, ..., x_n). Тогда ее можно удалить из таблицы истинности, вычеркнув все строки вида: (a₁, ...a_i–1, 1, a_i+1, ...a_n) или, наоборот, все строки вида: (a₁, ..., a_i–1, 0, a_i+1, ...a_n) и столбец для переменной х_i. При этом получим таблицу для некоторой функции g(x₁, ..., x_i–1, x_i+1, ...x_n). Будем говорить, что функция g(x₁, ...x_i–1, x_i+1, ...x_n) получена из функции f(x₁, ..., x_i, ...x_n) путем удаления фиктивной переменной х_i или f получена из g путем введения фиктивной переменной х_i.

Определение 4. Функции f₁ и f₂ называются равными, если f₂ можно получить из f₁ путем добавления или удаления фиктивной переменной.

Пример 3.

x1	x2	f3

Вычеркнули строки типа (a,1), т.е. (0,1) и (1,1) и столбец для х2.

Получили f₃(x₁ x₂) = g(x₁) = x₁.

Пример 4.

x1	x2	g

Пусть функция g(x₁ x₂) задана таблицей и существенно зависит от обеих переменных. Построим функцию f(x₁,x₂,x₃), которая получается из g(x₁,x₂) введением фиктивной переменной х₃:

x1	x2	x3	f

К наборам (х₁,х₂) мы добавим х₃=0, получим наборы вида: (a₁,a₂,0), на этих наборах функцию f положим равной g(a₁,a₂), затем добавим наборы вида (a₁,a₂,1), функцию f(a₁,a₂,1) положим равной g(a₁,a₂).

Особую роль играют константы 0 и 1, которые не имеют существенных переменных и которые можно рассматривать как функции от пустого множества переменных.

Определение 2. Две формулы N и D из <M> называются равными

N=D или эквивалентными N~D , если функции, реализуемые ими, равны.

Пример 2.Доказать эквивалентность формул:

( &(х₂Åx₃))~( ) .

x1	x2	x3	x2Åx3	&	x2® x3	x3®x2	&	Úx1	®