Тема 5. Введение в математический анализ

Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].

Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Решение:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Раскроем неопределенность Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Так как Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , то Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Для раскрытия неопределенности Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru разделим числитель и знаменатель на старшую степень Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru :

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , так как Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru при Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Для раскрытия неопределенности Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделаем замену Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , тогда Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Так как Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , то Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Тогда Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , так как Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru – второй замечательный предел.

Пример 10. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

Решение: Функции Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.

Рассмотрим поведение функции при Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru :

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Так как Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , то заданная функция непрерывна в точке Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Рассмотрим поведение функции при Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru :

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Так как пределы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru конечны и не равны, то точка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru единицы).

Сделаем чертеж:

Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Задачи для контрольных работ

ВАРИАНТ 1

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .




Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 2

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 3

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно асимптотам гиперболы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 4

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Дана парабола Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти длину ее хорды, проходящей через точку Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 5

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 6

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на вектор Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) найти площадь треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

7) найти объем пирамиды Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru : Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину стороны Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения сторон Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в радианах с точностью до Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение высоты Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и ее длину, не используя координаты точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) уравнение медианы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) точку пересечения высот треугольника Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru параллельно прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

3. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти:

1) длину отрезка Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) уравнения прямых Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) угол между прямыми Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) уравнение плоскости Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

5) угол между прямой Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и плоскостью Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru на плоскость Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 2) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 3) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

4) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; 5) Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

5. Дана функция Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 7

Контрольная работа №1

1. Дана матрица Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Найти Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

2. Решить систему линейных уравнений Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru и Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru составляют стороны параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) площадь параллелограмма Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru .

4. Даны точки Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ; Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru . Требуется:

1) записать векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ;

3) показать, что векторы Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru , Тема 5. Введение в математический анализ - student2.ru ,