Десятичная система записи натуральных чисел

Практическая деятельность потребовала от человека умения не только считать, но и умения записывать числа. В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки, и черточки, и буквы, и т. п. В настоящее время принята десятичная система записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записывают при помощи десяти знаков:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти знаки называют цифрами.

При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места (позиции), где она расположена в записи числа. Например, в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц, вторая – семь десятков, третья – семь сотен.

Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

Сравнение натуральных чисел

Числа можно сравнивать при помощи натурального ряда.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).

Если a, b, c – натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а, а число с находится правее числа b, то из этого следует, что число с находится правее числа а, то есть из а < b и b < с следует, что а < с.

В таких случаях пишут: а < b < с и говорят: «b больше а, но меньше с». Если числа а и b равны, то пишут а = b.

Каждое натуральное число а больше нуля; это записывают так:

а > 0.

Число, большее нуля, называют положительным.

Поэтому натуральные числа называют еще целыми положительными числами. Число нуль также целое, но не положительное число.

Натуральные числа и число нуль называют еще целыми неотрицательными числами, так как кроме неотрицательных чисел есть еще и отрицательные числа. О них будет сказано ниже.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд неотрицательных целых чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... .

Сложение. Законы сложения

Чтобы сложить числа 5 и 3, можно рассуждать так. Рассмотрим ряд натуральных чисел, отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа. Получится число 8, называемое суммой чисел 5 и 3:

8 = 5 + 3.

Числа 5 и 3 называют слагаемыми.

Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел. Получится то же число 8, называемое суммой чисел 3 и 5:

8=3 + 5.

Для любых натуральных чисел а и b верно равенство: a + b = b + a, выражающее переместительный закон сложения:

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Для любых натуральных чисел a, b и с верно равенство:

(a + b) + c = a + (b + c), выражающее сочетательный закон сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Переместительный и сочетательный законы сложения верны для любых неотрицательных чисел. Например, 5 + 0 = 0 + 5; (5 + 3)+0 = 5 +(3 + 0).

В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом.

Вычитание

Разностью чисел а и b называют такое число, которое при сложении с числом b дает число а. Число а называют уменьшаемым, число b – вычитаемым.

Разность чисел а и b обозначают а – b.

Таким образом, (a – b) + b = a или a – b + b = a.

Покажем, как, используя натуральный ряд чисел, можно найти разность натуральных чисел а и b в случае, когда а > b.

Пусть надо найти разность 9 – 6. Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел. Получим число 3. Легко видеть, что сумма чисел 3 и 6 равна 9:

3 + 6 = 9.

Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6, т. е. 9 – 6 = 3.

Замечание. С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и b только в том случае, когда а больше или равно b (пишут: а ≥ b). В дальнейшем будут введены новые числа – отрицательные, с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее.

Умножение. Законы умножения

Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 – значит найти сумму трех слагаемых, каждое из которых 4. Получится число 12, называемое произведением чисел 3 и 4.

Таким образом,

3∙4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Числа 3 и 4 называют множителями.

Для любого числа а верно равенство:

1∙а = а.

Примеры. 5∙3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, 3∙5=5 + 5 + 5 = 15, 3∙1 = 1 + 1 + 1=3,

1∙7=7.

Для любых натуральных чисел а и b верно равенство: a∙b = b∙a, выражающее переместительный закон умножения:

От перестановки множителей произведение не меняется.

а)	б)
Рис. 1

Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратов на рисунке 1. Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата – всего 3∙4 квадрата (рис. 1, а). Но можно расположить все квадраты в 4 ряда по 3 квадрата – всего 4∙3 квадрата (рис. 1, б). Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

3∙4=4∙3.

Для любых натуральных чисел а, b и с верно равенство:

(а∙b)∙с = а∙(b∙с),

выражающее сочетательный закон умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Сочетательный закон умножения легко проверить путем подсчета числа кубиков, как это сделано на рисунке 2 в цитируемом учебнике.

Из законов умножения следует, что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом.

Отметим, что для любого натурального числа а верны равенства:

а∙0 = 0, 0∙а=0.

Кроме того, 0∙0 = 0.

Поэтому равенства а∙b=b∙а и (а∙b)∙с=а∙(b∙с) верны для любых целых неотрицательных чисел.

Например, 5∙0 = 0∙5, (5∙3)∙0 = 5∙(3∙0).