Гармонические колебания и их характеристики
Конспект лекций 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.
Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.
отсюда 
В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:
х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];
А – амплитуда колебания (max смещения), [м];
ω0 – круговая (циклическая) частота, [рад/с];
t – текущее время, [с];
φ0 – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];
φ = 
фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].
Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.
t – время;
N – число полных колебаний;
ν – частота.
Скорость и ускорение при колебательном движении
Пусть 
 |
-скорость, [м/с];
или 
– ускорение, [м/с2].
Амплитуды колебаний скорости и ускорения соответственно равны Аw0 и Аw 
. Фаза колебаний скорости отличается от фазы колебаний величины отклонения на p/2, а фаза колебаний ускорения --на p. Следовательно, в моменты времени, когда х=0, dх/dt приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d2х/dt2 приобретает наибольшее положительное значение :
Уравнение гармонического колебания в дифференциальной форме
-
Отсюда дифференциальное уравнение гармонического колебания:
или 
.
Уравнение 
является решением дифференциального уравнения.
Гармоническим колебанием называется колебание, у которого ускорение прямопропорционально смещению.
Динамика колебаний
1.Сила, действующая на колеблющуюся точку
,тогда
или
- II закон Ньютона
(при 
)
(при 
)
2.Кинетическая энергия
3.Полная или суммарная энергия
4.Потенциальная энергия
;
Сложение колебаний
1. Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой методом векторных диаграмм.
-начальная фаза первого колебания.
-начальная фаза второго колебания.
Амплитуда результирующего колебания:
Начальную фазу результирующего колебания найдем из соотношения:
Откуда
Биения.
Биения возникают при складывании гармонических колебаний одинакового направления с мало отличающимися частотами. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
- период колебаний;
- период биений.
Δω<<ω0
;
;
(Δω<<ω0 → пренебрегаем)
- амплитуда результирующего колебания.
3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
Фигура Лиссажу – это замкнутая траектория точки, которая совершает одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Затухающие колебания
Это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается
Дифференциальное уравнение затухающего колебания
.
Решением дифференциального уравнения является уравнение вида:
В общем случае уравнение затухающих колебанийможно записать в виде:
= 
Амплитуда затухающих колебанийуменьшается со временем по экспоненциальной зависимости:
где A0 - начальная амплитуда (характеризует максимальное отклонение параметра х в момент времени t=0)
– коэффициент затухания (характеризует скорость затухания
колебаний).
где r - коэффициент сопротивления; m - масса
| T |
 |
 |
| хo |
| t |
| хo |
| t |
| х |
.
Логарифмический декремент затухания λ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний A(t) в момент времени t к амплитуде A(t+T) в момент времени (t+T), то есть через время, равное периоду колебаний.
Логарифмический декремент затухания λсвязан с коэффициентом затухания β и характеризует скорость затухания амплитуды колебаний
Вообще основными характеристиками затухающих колебанийявляются:
- амплитуда колебаний(в момент времени t=0 она имеет максимальное значение А0).
- коэффициент затухания
(r - коэффициент сопротивления; m - масса)
- циклическая частота затухающих колебаний.
- период колебаний.
- логарифмический декремент затухания.
- время релаксации (характеризует время, за которое амплитуда уменьшается в е раз).
Νе - число полных колебаний за время релаксации.
- добротность контура(характеризует число колебаний за время релаксации).
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под воздействием внешней периодически меняющейся силы.
F = F0 · cos ωt
-дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний
Решением дифференциального уравнения является уравнение:
- амплитуда вынужденных колебаний
- начальная фаза
установление колебаний с частотой 
При приближении частоты вынуждающей силы ( 
) к собственной частоте колебательной системы ( 
), наступает резкое увеличение амплитуды t - явление РЕЗОНАНСА.
(на рис. коэффициент затухания β обозначен как δ )
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Волна – это процесс распространения колебаний в сплошной среде.
При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и его энергия.
Основное свойство волн – перенос энергии без переноса вещества.
| ВОЛНЫ |
| Упругие (механические) |
| Электромагнитные |
| Продольные |
| Поперечные |
Продольные волны – частицы среды колеблются в направлении распространения волны.
Могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах.
Поперечные волны – частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Распространяются в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. только в твердых телах.
Гармоническая упругая волна – если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
Закон колебаний точки S.
Длина волны - расстояние, на которое распространяется фаза колебаний за время равное периоду:
; 
; 
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.
Волновой фронт также является волновой поверхностью.
У плоской волны волновая поверхность – это совокупность плоскостей, параллельных друг другу.
У сферической волны – волновая поверхность - это совокупность сфер.
Волновое уравнение
1. Бегущая волна – это волна, которая переносит в пространстве энергию.
Перенос энергии количественно характеризуется вектором Умова (вектор плотности потока энергии). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Уравнение бегущей волны, которая распространяется в прямом направлении:
Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
В общем случае:
Где А – амплитуда волны;
- циклическая частота волны;
- фаза волны
Для волн в качестве основной характеристики используетсяволновое число:
Тогда уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость.
Пусть 
, тогда 
- фазовая скорость.
– волновое число
3. Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение волны:
V – фазовая скорость.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х:
Стоячие волны
Стоячая волна является особым случаем интерференции двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющимися навстречу друг другу.
На рис. показан график стоячей волны, которая является результатом сложения бегущей (сплошная линия) и отраженной (пунктирная линия) волн. Уравнения этих волн:
Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны:
Амплитуда стоячей волны 
зависит от положения точки среды относительно источника колебаний, т.е. от координаты х.
Пучность – это точка, в которой амплитуда стоячей волны максимальна : Аст = 2А.
Узел – это точка, в которой амплитуда стоячей волны равна нулю: Аст = 0 (рис.)
| Падающая волна |
| Пучность |
| Отраженная волна |
| λ |
| у |
| х |
| λст |
| Узел |
| Более плотная среда |
Координаты узлов и пучностейстоячей волны:
где λст – длина стоячей волны (расстояние между соседними пучностями или узлами).
Длина бегущей и стоячей волн связаны соотношением:
λ = 2 λст
Основные свойства стоячих волн:
1. В отличие от бегущей стоячая волна не переносит энергию, т.к. падающая и отраженная волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны между узлами остается величиной постоянной.
2. Точки стоячей волны, лежащие между соседними узлами, совершают колебания с различными амплитудами, но в одинаковой фазе. При переходе через узел фаза колебаний меняется на π, т.е. точки по разные стороны узла колеблются в противофазах.
3. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то в месте отражения получается узел. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды волна меняет фазу на противоположную, и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений.
Если отражение волны происходит от менее плотной среды, то образуется пучность (изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами).
Электромагнитные волны.
Электромагнитные волны - это распространение в пространстве индуктивно связанных между собой переменных электрического и магнитного полей.
Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа
(1) 
Фазовая скорость: 
(2)
в вакууме ε=1 μ=1 
Т. к. 
<1, то в любой среде V < C.
Основные свойства электромагнитных волн:
1. Электромагнитные волны поперечны (V 
E; V 
H).
2. 
и 
колеблются всегда в одинаковых фазах.
3. Мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением:
(3)
т. е. Е и Н одновременно достигают max и одновременно обращаются в нуль.
Волновым уравнениям (1) соответствуют уравнения плоской монохроматической волны:
где 
- волновое число.
Конспект лекций 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.
Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.
отсюда
В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:
х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];
А – амплитуда колебания (max смещения), [м];
ω0 – круговая (циклическая) частота, [рад/с];
t – текущее время, [с];
φ0 – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];
φ = фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].
Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.
t – время;
N – число полных колебаний;
ν – частота.