Тема 4. Теория вероятностей.

1. Знать и уметь применять основные формулы комбинаторики.

2. Знать классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

3. Знать и уметь применять теоремы сложения и умножения вероятностей.

4. Знать и уметь применять формулы полной вероятности и Байеса.

5. Знать и уметь применять формулу Бернулли.

6. Знать и уметь применять локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.

7. Знать и уметь применять формулу Пуассона.

8. Знать определение случайной величины.

9. Знать определение функции распределения и ее свойства.

10. Знать определение плотности распределения вероятности и ее свойства.

11. Знать определение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины и их свойства.

Задания для самостоятельного выполнения

Задача 1. Порядок выступления 8 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Задача 2. Расписание одного дня состоит из 4 дисциплин. Определить количество вариантов расписания при выборе из 15 дисциплин.

Задача 3. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Задача 4. Из 25 студентов 5 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 2 студента – разрядники?

Задача 5. Среди 1000 новорожденных оказалось 487 девочек. Найти относительную частоту рождения девочек.

Задача 6. На отрезке L длины 30 см помещен меньший отрезок l = 15 см. Найти вероятность того, что точка наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 7. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только первый экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Задача 8. Среди 1000 лотерейных билетов 25 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Задача 9. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока в 98%, 88% и 92% случаев.

1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Задача 10. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) будет продано 2 пакета; 2) не будут проданы 5 пакетов.

Задача 11. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе частное предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 100 зарегистрированных в регионе частных предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 48 предприятий; б) от 48 до 55.

Задача 12. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено три изделия.

Задача 13.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х
Р	0,3	0,5	0,2

Найти функцию распределения и построить ее график.

Задача 14.Случайная величина Х задана функцией распределения

Вычислить вероятности попадания СВ Х в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5).

Задача 15.Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х.

Задача 16.СВ Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем

Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) найти вероятность попадания Х в промежуток (1; 2).

Задача 17.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение СВ Х, заданной законом распределения:

Х	-5	-2
р	0,2	0,1	0,3	0,15	0,25

Задача 18.СВ Х в интервале (0; 4) задана плотностью распределения , вне этого интервала . Найти дисперсию Х.

Образцы решения заданий

Задание 1.Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза; г) разного размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза?

Решение. Каждому работнику отдела поставим в соответствие некоторый номер – 1, 2, …, 10. Тогда любая тройка номеров из этого списка соответствует одному варианту распределения премий. Условимся также премии располагать слева направо в порядке убывания, когда они различаются по размеру.

а) если премии одинакового размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1) неразличимы (они соответствуют факту награждения первых трёх сотрудников по списку). Поэтому здесь важен только состав, порядок расположения элементов в наборе роли не играет. Значит, способов распределить три премии одинакового размера столько же, сколько сочетаний «из 10 по 3», .

б) если премии разного размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2) разные (для 2-го и 3-го сотрудников). Поэтому здесь важен не только состав, но и порядок расположения элементов в наборе. Значит, способов распределить три премии разного размера столько же, сколько размещений « из 10 по 3», .

в) если премии одинакового размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) неразличимы. В обоих случаях 2 премии получил работник с № 1 и 1 премию – работник № 3. Значит, способов распределить три премии одинакового размера в этом случае столько же, сколько существует сочетаний с повторениями « из 10 по 3», .

г) если премии разного размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) различные. В первом варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 2-ю по величине, во 2-м варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 3-ю по величине. Значит, наборы представляют собой размещения с повторениями. Поэтому способов распределить три премии разного размера в столько же, сколько существует размещений с повторениями « из 10 по 3», .

Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр {1,2,3,4,5,6}

а) без повторений; б) с повторениями?

Решение. а) Так как числа 123 и 321 разные, то порядок расположения внутри набора существенен. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений « из 6 по 3», .

б) Если цифры повторяются, то важен и состав, и порядок в наборе. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений с повторениями « из 6 по 3», то есть .

Задание 3.В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

.

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m , благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

= = = = = 0,38.

Ответ:

Задание 5.В течение года три фирмы независимо друг от друга могут обанкротиться (прекратить функционирование) с вероятностями = 0,08 соответственно. Вычислить вероятность того, что в течение года будут функционировать:

а) только две фирмы;

б) хотя бы одна фирма;

в) не более одной фирмы.

Решение

Пусть , i=1, 2, 3 – события, означающие банкротство каждой из трёх фирм. Тогда P( ) = 0,06, P( ) = 0,09, P( ) = 0,08; P( ) =0,94, P( ) = = 0,91, P( ) = 0,92. Здесь , , – противоположные относительно , , случайные события.

а) Рассмотрим событие В= + + . Оно заключается в том, что в течение года не обанкротятся только две фирмы.

Так как , , несовместны и (i=1, 2, 3) независимы, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей получим :

Р(В)= Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( )= =0,94∙0,91∙0,08+0,94∙0,09∙0,92+0,06∙0,91∙0,92=0,196496≈0,1965.

б) Обозначим через С событие, состоящее в том, что все три фирмы в течение года обанкротятся. Тогда

Р(С)=Р( )= Р( ) Р( )Р( )=0,06∙0,09∙0,08=0,000432.

Вероятность того, что хотя бы одна фирма не обанкротится, равна

1– Р(С)=1–0,000432=0,999568≈0,9996.

в) Пусть теперь D – случайное событие, состоящее в том, что в течение года будет функционировать не более одной фирмы. Оно означает, что либо все три фирмы обанкротятся, либо будет функционировать только одна фирма. Тогда D= + + и

Р(D) = Р(С)+ Р( Р( Р( ) + Р( ) Р( )Р( ) + Р( )Р( Р( ) = =0,000432+0,94∙0,09∙0,08+0,06∙0,91∙0,08+0,06∙0,09∙0,92=0,016536≈0,0165.

Ответ: а) 0,1965; б) 0,9996; в)0,0165.

Задание 6.В магазине имеются холодильники, произведенные двумя заводами в количественном соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока холодильника, произведенного первым заводом, равна 0,005, а вторым – 0,009. Купленный в магазине холодильник выдержал гарантийный срок. Вычислить вероятность того, что этот холодильник произведен вторым заводом.

Решение

Пусть А–событие, состоящее в том, что холодильник выдержит гарантийный срок, и – гипотезы, состоящие в том, что он произведен первым или вторым заводом соответственно. Тогда

; .

Из условия задачи следует, что: .

Вероятность того, что холодильник, выдержавший гарантийный срок, произведен вторым заводом, т.е. вычислим по формуле Бейеса: Ответ: 0,82.

Задание 7.При проведении социологического опроса студентов каждый из них, независимо друг от друга, может дать неискренний ответ с вероятностью 0,12. Вычислить вероятность того, что из 300 ответов неискренних будет:

а) ровно 30;

б) не более 70;

в) не менее 30 и не более 70.

Решение

а) Так как число опрошенных студентов достаточно велико , а вероятность сравнительно мала, то воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа:

, где .

В нашем случае , ,

Функция четная, поэтому (– 1,07)= (1,07). По таблице [3, Приложение 1] найдем (1,07) = 0,2251. Искомая вероятность .

б) Требование, чтобы неискренних ответов было не более 70, означает, что их число может быть равно 0, 1,2,…,70. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , и воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, по которой , где – функция Лапласа, ; .

Вычислим и :

; .

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , используя таблицу значений [3,Приложение 2], получим

.

Для значений полагают .

в) В этом пункте нужно вычислить , т.е. вероятность того, что из ответов трехсот опрошенных студентов неискренних будет не менее 30 и не более 70. Вычислим и :

; .

Следовательно,

Ответ: а) 0,0401; б) 1; в) 0,8577.

Задание 8.Два товароведа проверяют партию изделий на качество. Производительности их труда относятся как 5 : 4.Вероятность выявления брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают три. Составить закон распределения случайного числа – годных изделий среди отобранных. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение σ (Х).

Решение

Из условия задачи следует, что – дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа , , , .

Так как имеют место оба условия схемы Бернулли , вероятности их появления будем вычислять по формуле Бернулли .

Пусть А– случайное событие, состоящее в том, что каждое изделие из трех отобранных для проверки окажется годным; – гипотезы, заключающиеся в том, что оно проверено первым или вторым товароведом соответственно. Тогда по формуле полной вероятности

.

По условию , , , .

Значит, .

Итак, для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли

Тогда

; ;

; .

Контроль: 0,002197+0,044109+0,295191+0,658503 = 1.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 4.1

X
P	0,002197	0,044109	0,295191	0,658503

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

По определению .

Значит, .

По формуле вычислим дисперсию.

.

Среднее квадратическое отклонение

Замечание. Рассмотренная в задаче случайная величина Х – дискретная и распределена по биномиальному закону. Поэтому математическое ожидание и дисперсию можно вычислить так:

; .

Задание 9.Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса не допущена ошибка, равна 0,9. Аудитору на заключение представлено 4 баланса предприятия. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Найдите:

1) числовые характеристики этого распределения: М(Х), D(X);

2) функцию распределения F(X) и постройте ее график;

3) вероятность того, что:

а) ни один бухгалтерский баланс не получит положительного заключения;

б) хотя бы один бухгалтерский баланс получит положительное заключение;

в) не более двух бухгалтерских балансов получат положительное заключение.

Решение.Составим закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Из четырех проверяемых балансов положительное заключение может получить ни один баланс, один, два, три и все четыре баланса, т.е.

.

Вероятности вычислим по формуле Бернулли , при этом .

;

;

;

;

.

Проверим выполнение соотношения .

.

Тогда ряд распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы примет вид

Таблица 4.2

Х
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

1) Найдём математическое ожидание .

Найдём дисперсию .

.

Замечание. Так как случайная величина Х имеет биномиальное распределение, то числовые характеристики можно вычислять по формулам:

.

2) Найдём функцию распределения .

или

Построим график функции .

Рисунок 4 – График функции

3) Искомые вероятности найдем, используя закон распределения СВХ:

а) р(Х = 0)= 0,0001;

б) р(Х ≥ 1) = р(Х = 1) + р(Х = 2) + р(Х = 3) + р(Х = 4) =

= 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 0,9999,

Или

р(Х ≥ 1) = 1 – р(Х = 0) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

в) р(Х £ 2) = р(Х = 0) + р(Х = 1) + р(Х = 2) =

= 0,0001 + 0,0036 + 0,0486 = 0,0523.

Ответ: 1) ; ; 3) а) 0,0001; б) 0,9999; в) 0,0523.

Задание 10. Дана функция распределения СВ Х:

F(x) =

Найти:

1) коэффициент а;

2) математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X);

3) Р .

Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение. Найдем вид функции плотности распределения вероятностей заданной случайной величины.

f(x) = F′(x) =

1) Для нахождения значения параметра а используем свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: = 1.

= + + = = 4а = 1,

откуда, а = .

Таким образом,

F(x) = f(x) =

2) Математическое ожидание М(Х) найдем по формуле :

М(Х) = = = = .

Дисперсию D(X) найдем по формуле :

D(X) = =

= – = – = 2 – = .

3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой

P(α ≤ X ≤ β) = F(β) – F(α).

Получим

Р = F – F = – = =

Построим графики функций F(x) и f(x) (рисунки 5а, 5б)

а) б)

Рисунок 5 – Графики функций F(x) и f(x)

Ответ: 1) а = ; 2) М(Х) = ; D(X) = ; 3) Р = .