Определение области устойчивости методом D-разбиения

Критерии устойчивости позволяют ответить, является ли система устойчивой при заданных ее параметрах. При решении задач, когда 1 или 2 параметра могут изменяться в определенных пределах эффективным способом отыскания границ устойчивости является метод D-разбиения.

Для определения влияния коэффициента передачи разомкнутого контура К на устойчивость характеристическое уравнение разрешается относительно этого параметра и приводится к виду:

.

Для построения области устойчивости необходимо в характеристическом уравнении вместо р подставить jw и выразить из него коэффициент передачи:

.

Затем следует выделить из уравнения вещественную и мнимую части:

.

Задаваясь значениями w, от –¥ до +¥ на комплексной плоскости строят границы D-разбиения. Область устойчивости определяют методом штриховки: двигаясь по кривой от –¥ к +¥ с левой стороны, не отрываясь от линии, наносят штриховку. Область предполагаемой устойчивости находится внутри контура, где штриховка обращена внутрь. Проверка осуществляется следующим образом: из областей предполагаемой устойчивости берется значение параметра и подставляется в характеристическое уравнение. Затем по критерию Гурвица определяется устойчивость системы.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметра К :

0,02р³ + 0,3р² + р + K = 0

K = –(0,02р³ + 0,3р² + р)

вместо p подставим jw :

K = 0,02jw³ + 0,3w² – jw

u(ω) = 0,3w² v(ω) = 0,02w³ – w

Рис. 4.15. Область устойчивости по методу D-разбиения

По правилу штриховки областью устойчивости является область 1 (закрашена зеленым цветом). В соответствии с этим для обеспечения устойчивости 0 < K < 15.

Если требуется исследование области устойчивости по двум параметрам, характеристическое уравнение в частотном виде распадается на два уравнения (действительную и мнимую часть):

где А и В – исследуемые параметры.

По этим уравнениям строятся кривые в координатах А и В при изменении частоты от 0 до +¥. На график наносится штриховка с левой стороны при движении в сторону увеличения частоты, если положителен определитель:

.

Если Δ < 0, штриховка наносится справа.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметров К и Т:

0,1Tp³ + (0,1 + T)p² + p + K = 0

Решение системы:

;

Задавая частоту от 0 до +¥, строим график.

Рис. 4.16

= –0,1ω³ < 0 (для положительных частот), то есть график штрихуется справа, то есть область устойчивости закрашена на рисунке зеленым цветом.

Пример. Определить область устойчивости системы для параметров К и Т:

Характеристическое уравнение:

Решение системы:

;

Задавая частоту от 0 до +¥, строим график.

Рис. 4.17

= –0,3ω³ < 0 (для положительных частот), то есть график штрихуется справа. Область устойчивости на рисунке закрашена на рисунке зеленым цветом с учетом того, что K и T положительны.

Практическое задание

Часть 1. Исследование влияния коэффициента передачи разомкнутого контура САР на устойчивость.

1. Запустить на выполнение файл «Устойчивоcть.vsm».

2. Для звеньев системы задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

3. Подключить к осциллографу выход копии системы. Изменяя коэффициент передачи любого из элементов системы и запуская процесс моделирования, наблюдать изменения в переходном процессе. При необходимости можно увеличить время моделирования (меню Simulate – Simulation Properties – End).

4. Изменяя коэффициент передачи любого из элементов системы, получить на выходе системы незатухающие колебания, что свидетельствует о нахождении системы на границе устойчивости. Вычислить общий коэффициент передачи для этого случая и сравнить с расчетным значением (по критерию Гурвица).

5. Подключить к осциллографу выход второй копии системы. Изменяя коэффициент передачи любого из элементов системы, получить на выходе системы апериодический переходный процесс. Вычислить общий коэффициент передачи для этого случая и сравнить с расчетным значением (с помощью анализа передаточной функции замкнутой системы).

Часть 2. Исследование влияния постоянных времени звеньев CAР иа устойчивость.

1. Запустить на выполнение файл «Устойчивоcть.vsm».

2. Для звеньев системы задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

3. Подключить к осциллографу выход копии системы. Изменяя постоянную времени любого из элементов системы и запуская процесс моделирования, наблюдать изменения в переходном процессе. При необходимости можно увеличить время моделирования (меню Simulate – Simulation Properties – End).

4. Изменяя постоянную времени любого из элементов системы, получить на выходе системы незатухающие колебания, что свидетельствует о нахождении системы на границе устойчивости. Сравнить значение постоянной времени с расчетным (по критерию Гурвица).

5. Подключить к осциллографу выход второй копии системы. Изменяя постоянную времени любого из элементов системы, получить на выходе системы апериодический переходный процесс. Сравнить значение постоянной времени с расчетным (с помощью анализа передаточной функции замкнутой системы).

Часть 3. Исследование устойчивости САР с запаздыванием.

1. Запустить на выполнение файл «Устойчивоcть.vsm».

2. Для звеньев системы задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

3. Подключить к осциллографу второй вариант системы, в котором добавлено звено с запаздыванием (timeDelay) с подключенным к его входу t генератором постоянной величины (const). По умолчанию значение сигнала на выходе генератора (время запаздывания) равно 1 с. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

4. Изменяя значение времени запаздывания, получить на выходе системы незатухающие колебания, что свидетельствует о нахождении системы на границе устойчивости. Сделать вывод о влиянии времени запаздывания на устойчивость.

Часть 4. Исследование влияния порядка астатизма системы на устойчивость.

1. Запустить на выполнение файл «Устойчивоcть.vsm».

2. Для звеньев системы задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

3. Подключить к осциллографу выход системы с астатизмом 2-го порядка. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы. Убедиться, что изменение коэффициента передачи системы не приводит к переходу в устойчивый режим (структурная неустойчивость).

4. Подключить к осциллографу выход системы с изодромным звеном, которое получено параллельным соединением с помощью сумматора интегратора и безынерционных звеньев (на входе ддля наглядности установлен элемент wirePositioner из меню Blocks – Annotation):

5. Меняя параметры изодромного эвена, добиться устойчивости системы. Сделать вывод о юзможности повышения порядка астатизма при одновременном обеспечении устойчивости. Сравнить быстродействие систем с разным порядком астатизма.

Часть 5. Исследование запасов устойчивости системы по критерию Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик.

1. Запустить на выполнение файл «Устойчивоcть.vsm».

2. Для звеньев системы задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Запустить процесс моделирования и сделать вывод об устойчивости системы.

3. Выделить мышью все элементы системы (кроме входного генератора и осциллографа) и получить ЛАЧХ и ЛФЧХ. Оценить запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

4. Изменить параметры системы таким образом, чтобы получить неустойчивый режим и состояние на границе устойчивости (см. часть 1). Получить для этих вариантов ЛАЧХ и ЛФЧХ. Оценить запасы устойчивости по фазе и амплитуде.