Формула остроградского-лиувилля

Пусть и – решения (2), следовательно,

. (3)
Умножим первое из этих уравнений на , а второе – на и сложим их, получим
, ( )
что равносильно
. ( )

Это означает, что двух решений уравнения (2) есть одно из решений дифференциального уравнения (1). Рассмотрим уравнение

. ( )

Решая его, получим:

.

Поскольку начальное условие произвольно, то и является фактически произвольной константой: .

Так как определитель Вронского есть одно из решений ( ), то для него также справедлива следующая формула:

. (4)

Формула Остроградского-Лиувилля справедлива для любых двух решений уравнения (2).

Функция непрерывна, следовательно, и справедливо следующее утверждение: вронскиниан либо тождественно равен нулю, если , либо не равен нулю ни при одном , если . Таким образом, определитель Вронского для фундаментальной системы решений не только тождественно не равен нулю, но и не обращается в ноль ни при одном . Существенной является непрерывность .

Существование ФСР (2)

Теорема:

Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

и две системы начальных условий:

, , ,

, ,

где

.

Пусть и – частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:

.

Теорема доказана.

Основная теорема:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.

Доказательство:

Пусть и – фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию

,

где , есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить из выбором и .

Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий

, , .

Положим , тогда

,

,

отсюда

и .

Так как , то и есть общее решение.

Применение формулы Остроградского-Лиувилля

Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.

Пусть есть известное решение и нужно найти . Так как и , то при получаем:

.

И, наконец, при

.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение

, .

Тогда

.

Общее решение будет:

.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Теоремы о частных решениях

Рассмотрим неоднородное уравнение

(1)

и соответствующее однородное уравнение

. (2)

Теорема 1:

Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Доказательство:

Пусть и – частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функцию вместе с ее производными:

.

Теорема доказана.

Теорема 2:

Если – частное решение уравнения (1), – частное решение соответствующего однородного уравнения, то

есть новое частное решение уравнения (1).

Доказательство:

Справедливы следующие соотношения:

,

,

значит,

.

Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).

Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

,

где и есть линейно независимые частные решения уравнения (2).

Теорема 3:

Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и , и если есть частное решение уравнения (1) с правой частью , а – частное решение уравнения (1) с правой частью , то – частное решение уравнения (1) с правой частью .

Доказательство:

Рассмотрим уравнение , подставим и в уравнения и соответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим:

.

Теорема доказана.

Пример:

, (1)

, , (2)

, . (3)

Тогда – частное решение уравнения (1).