Vii. интервальное оцениваеие

Пусть X~F(x, q), причём вид функции распределения F(x, q) известен, а параметр q неизвестен (считаем его одномерным). Требуется по выборке указать такой интервал [ , ], который с заданной вероятностью a накрывает неизвестный параметр q:

P{ £q£ }=a.

Сам интервал [ , ] называется доверительным, а a – доверительной вероятностью. Концы интервала – функции от выборки:

= (x₁, x₂, ¼ , x_n), = (x₁, x₂, ¼ , x_n)

и являются случайными величинами. Желательно иметь a близким к единице, а интервал – поменьше. Однако увеличивая a, мы будем получать всё более широкие интервалы и тем самым всё менее информативные интервалы, всё менее интересные. Желательным свойством можно считать условие: - 0, тог­да при достаточно большом числе наблюдений можно как угодно точно локализовать параметр q.

В качестве a обычно берут числа 0,99, 0,95, 0,9. Выбор доверительной вероятности зависит от практических последствий в случае, когда доверительный интервал не накроет q. При a=0,9 следует ожидать, что в среднем мы будем промахиваться в десятой части всех применений данного доверительного интервала. Если это не страшно, то можно брать a=0,9. Если же нас в этих случаях ждут большие материальные потери или это ведёт к опасностям для человеческой жизни, то такая доверительная вероятность недопустимо мала.

Легко строить доверительный интервал для q, если мы имеем для параметра точечную оценку (x₁, x₂, ¼ , x_n) и хотя бы приближённо знаем закон её распределения. Именно в этом случае по закону распределения , задавая a, мы можем находить такое e, чтобы

P{| -q|£e}=a.

Иногда a называют надёжностью оценки, а e – её точностью. Здесь мож­но переписать неравенство под знаком вероятности в следующем виде:

P{ -e£q£ +e}=a,

и искомый доверительный интервал имеет вид [ -e, +e] и длину 2e.

Разберём несколько задач на построение доверительных интервалов.

1°. Приближённый доверительный интервал для вероятности события.

Пусть имеется событие A и для его вероятности P(A)=p мы хотим построить доверительный интервал, сделав n опытов. Допустим, что в этих опытах событие A наступило m раз.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

P{a£ £b}» dy.

Возьмём a=-e, b=e:

P{| |£e}» dy=F(e), "e>0.

Стоящее под знаком вероятности неравенство заменим равносильным:

P{m²-2mnp+n²p²£e²npq}»F(e), "e>0,

или, заменяя q на 1-p:

P{p²(n²+e²n)-p(2mn+e²n)+m²£0}»F(e), "e>0.

Кривая y=p²(n²+e²n)-p(2mn+e²n)+m² как функция p является параболой.

Пусть её корни p₁, p₂, причём p₁<p₂, т. е.

P{p₁£p£p₂}»F(e), "e>0

и теперь мы можем указать процедуру построения доверительного интервала для p:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a находим e из уравнения F(e)=a; корень уравнения легко определяется с помощью таблицы функции Лапласа.

c) Решаем квадратное уравнение p²(n²+e²n)-p(2mn+e²n)+m²=0, находим его корни p₁, p₂, p₁<p₂.

d) Искомый приближённый доверительный интервал имеет вид: [p₁, p₂].

Точность этого интервала зависит от того, достаточно ли мала ошибка при использовании теоремы Муавра-Лапласа, можно ли практически считать, что

m~N(np, ).

2°. Доверительный интервал для параметра a нормального закона при известном s.

Пусть X~N(a, s), причём s известно.

Получаем выборку (x₁, x₂, ¼ , x_n). Среднее выборочное: ~N(a, ). Его нормированное уклонение:

= ~N(0, 1).

Поэтому:

P =F(e), "e>0.

Заменим неравенство под знаком вероятности равносильным, разрешив его относительно a:

P{ - £a£ + }=F(e)

и можно сформулировать процедуру построения доверительного интервала для параметра a:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a с помощью таблицы функции Лапласа находим e из уравнения F(e)=a.

c)Искомый доверительный интервал имеет вид [ - , + ],

Отметим, что длина доверительного интервала сколь угодно мала при больших n: 0.

3°. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.

Пусть X~N(a, s) и оба параметра неизвестны. Воспользуемся следующей теоремой о выборочном среднем и выборочной дисперсии S² для выборки из нормального закона:

a) ~N(a, );

b) nS²~c ;

c) S² – независимые случайные величины;

d) ( -a)~T_n-1.

Пункт a) этой теоремы очевиден, пункт d) следует из трёх предыдущих.

Действительно,

~N(0, 1); ~c_n-1

и из независимости и S следует, что отношение  : =  рас­пределено по закону Стьюдента с (n-1) степенями свободы.

Пункты b) и c) примем без доказательства. Ограничимся только следующими замечаниями.

В выражении

=

слагаемые – квадраты случайных величин  , распределённых по нормальному закону; если бы они были независимыми, то, как мы знаем, сумма была бы распределена по закону c_n²; однако они связаны линейной зависимостью:

=0.

Оказывается, это влияет лишь на число степеней свободы у c², понижая его на единицу. Можно вместо величин (x₁, x₂, ¼ , x_n) ввести с помощью линейного преобразования такие новые величины, которые остаются независимыми и нормальными, причем и S² выражаются через различные новые переменные. Это и обеспечивает независимость. К тому же S² выражается через квадраты ровно (n-1) таких новых величин, что и приводит к c . Осуществление этой программы мы здесь опустим.

Теперь построить доверительный интервал для a уже нетрудно:

P{ | -a|£e}=2 p_T^n-1(t)dt, "e>0,

или

P{ -eS£a£ +eS}=2 p_T^n-1(t)dt.

Строим доверительный интервал так:

a) Задаём a.

b) По a из таблицы распределения Стьюдента находим значение e из урав­нения  p_T^n-1(t)dt= .

c) Нужный интервал имеет вид: [ -eS, +eS].

Теорема о выборочном среднем позволяет построить доверительные интервалы также для s²и s. Действительно, так как  nS²~c , то для любых x₁, x₂, таких, что 0£x₁<x₂<+¥:

P{x₁£ nS²£x₂}= (x)dx.

Перепишем неравенство под знаком вероятности, решив его относительно s²:

P{ £s²£ }= (x)dx.

a O x2 x1 x (x) Рис. 7.

Обычно выбирают x₁, и x₂так, чтобы заштрихованные на рисунке площади были равны. Если мы хотим построить интервал с доверительной вероятностью a, то величина каждой из этих площадей, очевидно, равна .

Процедура построения интервала:

a) Задаём a.

b) Находим x₁, и x₂по таблицам c²-распределения из уравнений:

(x)dx= , (x)dx= .

c) Вычисляем  , что и решает нашу задачу.

Очевидно, для параметра s доверительный интервал выглядит следующим образом:

.