Прямоугольные координаты на плоскости

Методический комментарий

Учащиеся должны уметь отмечать на координатной плоскости точку по заданным координатам, уметь читать координаты отмеченной точки.

При объяснении материала фрагмент, связанный с определением координат точки, показанный в учебнике в виде серии рисунков (см. рис. 11.29), целесообразно воспроизвести на доске и в тетради на одном и том же рисунке, например для точки А(5; –3), акцентируя внимание на каждом шаге. Особое внимание учащихся следует обратить на то, что если переставить местами координаты точки, то получится другая точка (кроме случая, когда координаты равны), а также на то, что нельзя определить положение точки, зная только одну её координату.

При построении точки по её координатам полезно приучить учащихся к определённому порядку. Пусть, например, надо отметить точку А(5; –3). Для этого читаем первую координату «5» и от начала координат кончиком карандаша «проходим» вправо 5 единиц; читаем вторую координату «–3» и продолжаем движение кончиком карандаша — опускаемся вниз на 3 единицы; отмечаем точку A.

Комментарий к упражнениям

977. Полезно предложить учащимся ещё до построения точки с заданными координатами определить, в какой координатной четверти она расположена.

979.Дополнительный вопрос: «Через какие координатные четверти проходит прямая AB? прямая DE? прямая CK?»

984. б) Дополнительное задание. Укажите координаты точки пересечения диагоналей построенного четырёхугольника.

Глава 12. Многоугольники и многогранники (10 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь	Характеристика основных видов деятельности учащихся
12.1. Параллелограмм		69—78 (с. 83—86)	Распознаватьпараллелограмм на чертежах, рисунках, в окружающем мире. Изображатьпараллелограмм с использованием чертёжных инструментов. Моделироватьпараллелограмм, используя бумагу, пластилин, проволоку и т. д. Исследоватьи описыватьсвойства параллелограмма, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Формулировать, обосновывать, опровергать с помощью контрпримеров утверждения о свойствах параллелограмма. Сравниватьсвойства параллелограммов различных видов: ромба, квадрата, прямоугольника.Выдвигатьгипотезы,строитьлогическую цепочку рассуждений о свойствах параллелограммов различных видов, объяснятьих. Конструироватьспособы построения параллелограммов по заданным рисункам, осуществлятьсамоконтроль, проверяя соответствие полученного изображения заданному
12.2. Площади		81—87 (с. 88—91)	Изображатьравносоставленные фигуры, определять их площади. Моделировать геометрические фигуры из бумаги (перекраивать прямоугольник в параллелограмм, достраивать треугольник до параллелограмма). Сравнивать фигуры по площади. Формулировать свойства равносоставленных фигур. Составлять формулы для вычисления площади параллелограмма, площади прямоугольного треугольника. Выполнятьизмерения и вычислятьплощади параллелограмма и треугольника. Использоватькомпьютерное моделирование и эксперимент для изучения свойств геометрических фигур. Строить логическую цепочку рассуждений о равновеликих фигурах. Решатьзадачи на нахождение площадей параллелограммов и треугольников
12.3. Призма		90—92 (с. 94—95)	Распознаватьпризмы на чертежах, рисунках, в окружающем мире. Называть призмы. Копироватьпризмы, изображённые на клетчатой бумаге,осуществлятьсамоконтроль, проверяя соответствие полученного изображения заданному. Моделироватьпризмы, используя бумагу, пластилин, проволоку и т. д., изготавливатьиз развёрток. Определятьвзаимное расположение граней, рёбер, вершин призмы. Исследоватьсвойства призмы, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Описыватьсвойства призмы, используя соответствующую терминологию.Формулировать утверждения о свойствах призмы, опровергать утверждения с помощью контрпримеров. Строить логическую цепочку рассуждений о свойствах призм. Составлять формулы, связанные с линейными, плоскими и пространственными характеристиками призмы. Моделировать из призм другие многогранники
Обзор и контроль

Основные цели: обобщить и расширить знания о треугольниках и четырёхугольниках, познакомить с новыми геометрическими объектами — параллелограммом и призмой.

Обзор главы. Данный раздел является обобщающим, собирательным разделом в геометрической линии курса 5—6 классов. Здесь происходит новый виток в изучении вопросов, рассмотренных ранее. Расширяются представления учащихся о многоугольниках: они знакомятся с новым видом четырёхугольников — параллелограммом, с новыми свойствами треугольников, приобретают новые графические умения по построению многоугольников и более сложные конструктивные умения. Расширяются представления учащихся о площади — они учатся находить площади различных фигур путём их перекраивания.

Задачи в этом разделе часто носят комплексный характер, так как они предполагают знание многих фактов. В связи с этим особенно важным становится выбор из общей системы упражнений тех задач, которые адекватны возможностям учащихся. Подчеркнём также необходимость сохранения практической ориентации при изучении теории и решении задач.

Приведём некоторые рекомендации по изучению конкретных вопросов данного раздела.

Параллелограмм вводится как четырёхугольник, образуемый двумя парами параллельных прямых. Это задаёт и основной способ его построения. Используя способ построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки, учащиеся должны уметь чертить различные параллелограммы, строить параллелограмм с заданными сторонами. Уже из этих построений учащимся открываются некоторые свойства параллелограмма: например, они видят, что его противоположные стороны не только параллельны, но и равны.

Дальнейшее знакомство со свойствами параллелограмма основано на том, что он является центрально-симметричной фигурой. Напомним, что все описанные эксперименты должны быть проведены практически: не следует надеяться на то, что достаточно мысленного выполнения описанных действий. Важно, чтобы учащиеся, каждый раз поворачивая параллелограмм, следили за тем, как ведёт себя тот или иной его элемент, например, где ока­жется сторона АВ, угол А, диагональ АС, треугольник ABD.

Подчеркнём, что рассмотрение свойств параллелограмма в данном курсе — способ знакомства с этой интересной фигурой. В связи с этим задание типа «Перечислите свойства параллелограмма» является неправомерным. В ходе решения задачи то или иное свойство актуализируется в совместной работе учителя и учеников.

Заметим, что через систему задач учащиеся знакомятся с некоторыми способами построения параллелограмма, предполагающими использование различных инструментов. При этом обязательно нужно поддерживать и поощрять фантазию учащихся. Способ построения параллелограмма, основанный на свойстве его диагоналей, не является обязательным и может не рассматриваться в слабом классе или при недостатке времени.

Материал, связанный с классификацией параллелограммов, служит цели систематизации знаний. Важно здесь не только то, что давно знакомый прямоугольник относится к более широкому классу параллелограммов, но и то, что квадрат является частным случаем прямоугольника. Учащимся полезно сравнить свойства параллелограмма и прямоугольника, прямоугольника и квадрата и выделить те из них, которые присущи только прямоугольнику или только квадрату. Естественно, всё это делается с опорой на чертёж в ходе совместного обсуждения.

Знакомясь с правильными многоугольниками, учащиеся активно используют знания, связанные со свойствами углов многоугольников.

Материал пункта «Площади» может быть разделён на две части: теоретическую и практическую.

В теоретической части вводятся новые понятия: равновеликие фигуры и равносоставленные фигуры — и новый факт: равносоставленные фигуры равновелики. Заметим, что учащиеся могут не сразу усвоить эти термины, на чём и не надо настаивать. При необходимости следует просто терпеливо «расшифровывать» эти термины.

Не следует оба новых понятия вводить сразу. Сначала нужно напомнить учащимся, как находятся площади прямоугольника и квадрата, а также более сложных фигур, составленных из прямоугольников.

Следующий этап — равенство площадей равносоставленных фигур. Для изображения равносоставленных фигур используется клетчатая бумага: по клеточкам легко подсчитать площадь фигуры, разбить на две фигуры, на одинаковые части и т. д.

Практическое значение данного материала состоит в том, что теперь учащиеся смогут находить площади параллелограмма и треугольника путём перекраивания. Обращаем внимание учителя на то, что формулы для нахождения площадей этих фигур не вводятся и никакие правила не формулируются. Естественно, что умение перекроить (практически или мысленно) одну фигуру в другую не может быть отнесено к обязательным.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Проверочные работы:
8. Параллелограмм. 9. Площади. 10. Призма.

Параллелограмм

Комментарий к упражнениям

995. б) Воспользоваться двумя параллельными рёбрами линейки.

999. б) Двумя способами: параллелограммы ABCD и ABDC.

1003. Сначала лист бумаги нужно дважды перегнуть так, чтобы линии сгиба были перпендикулярны друг другу. Затем нужно загнуть образовавшийся прямой угол.

1008. а) 5; б) рисунок задачи интересен сам по себе. Полезно отыскать на нём все возможные параллелограммы (их всего 16), найти и пометить мягким карандашом равные отрезки, указать параллельные отрезки.

Площади

Комментарий к упражнениям

1020. Надо провести линию разреза и показать стрелкой, как переложить отрезанную часть. Получившийся квадрат можно выделить цветом.

1024. Ситуацию можно промоделировать: перевести параллелограмм на кальку, разрезать его по красной линии и сложить из получившихся частей прямоугольник. После чего надо сопоставить длины сторон прямоугольника с исходными данными.

Призма

Комментарий к упражнениям

1041,1042. Для выполнения задания нужны модели.

1045. а) Можно попросить учащихся показать на проекционном изображении куба, как прошла плоскость распила, а также нарисовать рядом одну из получившихся призм.

Содержание

Общая характеристика курса математики 5—6 классов. 6

Концепция курса. 6

Состав учебно-методического комплекта. 7

Характеристика содержания курса. 9

Методические особенности и методический аппарат. 12

Компьютерное обеспечение. 15

Планируемые результаты обучения математике в 5—6 классах. 18

Поурочное планирование учебного материала. 23

Рекомендации по организации учебного процесса. 28

Глава 1. Дроби и проценты (18 уроков) 28

1.1. Что мы знаем о дробях. 33

1.2. Вычисления с дробями. 35

1.3. «Многоэтажные» дроби. 37

1.4. Основные задачи на дроби. 37

1.5. Что такое процент. 39

1.6. Столбчатые и круговые диаграммы.. 41

Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве (7 уроков) 43

2.1. Пересекающиеся прямые. 47

2.2. Параллельные прямые. 48

2.3. Расстояние. 49

Глава 3. Десятичные дроби (9 уроков) 50

3.1. Десятичная запись дробей. 53

3.2. Десятичные дроби и метрическая система мер. 55

3.3. Перевод обыкновенной дроби в десятичную.. 57

3.4. Сравнение десятичных дробей. 58

Глава 4. Действия с десятичными дробями (31 урок) 61

4.1. Сложение и вычитание десятичных дробей. 67

4.2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... 68

4.3. Умножение десятичных дробей. 69

4.4. Деление десятичных дробей. 70

4.5. Деление десятичных дробей (продолжение) 72

4.6. Округление десятичных дробей. 72

4.7. Задачи на движение. 73

Глава 5. Окружность (9 уроков) 76

5.1. Окружность и прямая. 80

5.2 Две окружности на плоскости. 80

5.3. Построение треугольника. 81

5.4. Круглые тела. 81

Глава 6. Отношения и проценты (14 уроков) 82

6.1. Что такое отношение. 85

6.2. Деление в данном отношении. 86

6.3. «Главная» задача на проценты.. 89

6.4. Выражение отношения в процентах. 90

Глава 7. Симметрия (8 уроков) 92

7.1. Осевая симметрия. 97

7.2. Ось симметрии фигуры.. 98

7.3. Центральная симметрия. 99

Глава 8. Выражения, формулы, уравнения (15 уроков) 100

8.1. О математическом языке. 104

8.2. Буквенные выражения и числовые подстановки. 105

8.3. Формулы. Вычисления по формулам. 107

8.4. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара. 109

8.5. Что такое уравнение. 111

Глава 9. Целые числа (14 уроков) 113

9.1. Какие числа называют целыми. 117

9.2. Сравнение целых чисел. 119

9.3. Сложение целых чисел. 119

9.4. Вычитание целых чисел. 121

9.5. Умножение и деление целых чисел. 121

Глава 10. Множества. Комбинаторика (9 уроков) 124

10.1. Понятие множества. 127

10.2. Операции над множествами. 129

10.3. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 131

10.4. Комбинаторные задачи. 133

Глава 11. Рациональные числа (16 уроков) 136

11.1. Какие числа называют рациональными. 140

11.2. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа. 141

11.3. Действия с рациональными числами. 142

11.4. Что такое координаты.. 144

11.5. Прямоугольные координаты на плоскости. 145

Глава 12. Многоугольники и многогранники (10 уроков) 147

12.1. Параллелограмм. 152

12.2. Площади. 153

12.3. Призма. 153

Содержание. 154

Учебное издание

СувороваСветлана Борисовна

Кузнецова Людмила Викторовна

МинаеваСветлана Станиславовна

РословаЛариса Олеговна

Математика

Методические рекомендации

Класс

Пособие для учителей

общеобразовательных организаций

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова

Редактор Л. В. Кузнецова

Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко

Художественный редактор О. П. Богомолова

Компьютерная графика О. Ю. Тупикиной

Корректор И. В. Чернова

¹ Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5—9 классы. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — (Стандарты второго поколения).