Умножение и деление целых чисел
Методический комментарий
Важнейшим моментом при рассмотрении умножения являются так называемые правила знаков. Их мотивировка естественна в случаях умножения на положительное число и требует некоторой догадки и домысливания при умножении на отрицательное число. Камнем преткновения может оказаться случай умножения двух отрицательных чисел. Поэтому в учебнике приводится мотивировка (с. 202—203) целесообразности принятого правила.
Запоминанию правил способствуют разнообразные упражнения, приводимые в учебнике (упражнения 783, 784). Хорошо, если в ходе последующих упражнений учащиеся заметят, что произведение будет положительным или отрицательным в зависимости от того, чётное или нечётное число отрицательных множителей входит в его состав (упражнения 784, 785).
Правила знаков для деления целых чисел объясняются просто, если хорошо усвоены правила знаков для умножения. Можно выписать 4 пары равенств:
так как 2 × 3 = 6, то 2 = 6 : 3;
так как 2 × (–3) = (–6), то 2 = (–6) : (–3);
так как (–2) × 3 = (–6), то –2 = (–6) : 3;
так как (–2) × (–3) = 6, то –2 = 6 : (–3).
Рассмотрев правые равенства, можно сформулировать вывод, приведённый на с. 204 учебника, затем выполнить задания из рабочей тетради и упражнения 787 и 788 из учебника. Навыки умножения и деления целых чисел закрепляются в упражнениях 792 и 793 учебника.
В ходе изучения следующего пункта — «Множества. Комбинаторика» целесообразно продолжить выполнять упражнения на все действия с целыми числами (задания типа 792), чтобы к моменту изучения рациональных чисел учащиеся свободно оперировали числами со знаком.
Комментарий к упражнениям
782.Вывод: чтобы умножить число на –1, надо изменить знак этого числа на противоположный.
790.Найти неизвестный компонент действия можно подбором.
794.2) Неверно, например: (–3) + 5 = 2;
4) неверно, например: (–2) × (–3) = 6.
795.а) 4 способа: –21 = 1 × (–21) = 3 × (–7) = (–1) × 21 = (–3) × 7.
Глава 10. Множества. Комбинаторика (9 уроков)
Примерное поурочное планирование учебного материала
| Пункт учебника | Число уроков | Характеристика основных видов деятельности учащихся |
| 10.1. Понятие множества | Приводитьпримеры конечных и бесконечных множеств. Строитьречевые конструкции с использованием теоретико-множественной терминологии и символики, переводить утверждения с математического языка на русский и наоборот. Формулироватьопределение подмножества, иллюстрироватьпонятие подмножества с помощью кругов Эйлера. Обсуждатьсоотношения между основными числовыми множествами. Записывать на символическом языке соотношения между множествами и приводитьпримерыразличных вариантових перевода на русский язык. Исследоватьвопрос о числе подмножеств конечного множества | |
| 10.2. Операции над множествами | Формулироватьопределения объединения и пересечения множеств. Иллюстрироватьэти понятия с помощью кругов Эйлера. Использовать схемы в качестве наглядной основы для разбиения множества на непересекающиеся подмножества. Приводитьпримеры классификаций из математики и из других областей знания | |
| 10.3. Решение задач с помощью кругов Эйлера | Проводитьлогические рассуждения по сюжетам текстовых задач с помощью кругов Эйлера | |
| 10.4. Комбинаторные задачи | Решатькомбинаторные задачи с помощью перебора возможных вариантов, в том числе путём построения дерева возможных вариантов. Строить теоретико-множественные модели некоторых видов комбинаторных задач |
Основные цели:обучить использованию простейших теоретико-множественных понятий (терминов и символов) как элементов математического языка; развить умение решать комбинаторные задачи перебором возможных вариантов.
Обзор главы.Глава начинается со знакомства с простейшими базовыми понятиями теории множеств (множество, элемент множества, конечное множество, бесконечное множество, пустое множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств). Изложение материала строится с привлечением разнообразных математических и нематематических примеров. Овладевая новой терминологией и символикой, учащиеся одновременно получают возможность вспомнить некоторые факты о числах и фигурах, а также обобщить и систематизировать некоторые знания путём рассмотрения соотношений между множествами чисел, множествами четырёхугольников и т. д. Рассмотрение операций над множествами завершается обсуждением математической сущности такого важного в общеобразовательном и общекультурном плане понятия, как «классификация».
В соответствии с общей линией, принятой в учебниках, в этой главе продолжается решение задач арифметическим способом. Здесь рассматривается некоторый тип задач, для решений которых удобно использовать круги Эйлера.
Завершается глава пунктом, посвящённым решению комбинаторных задач. Как и в 5 классе, они решаются перебором всех возможных вариантов. При этом для трёх типичных задач строятся их математические (теоретико-множественные) модели, позволяющие осознать сущность каждой задачи, идею, общность приёма решения задач данного типа.
Таким образом, введённые теоретико-множественные понятия «работают» на протяжении всей главы, что обеспечивает содержательное единство рассматриваемых в ней вопросов.
Понятие множества
Методический комментарий
В пункте прежде всего разъясняется, что в математике обозначают словом «множество», рассматриваются способы задания конечных и бесконечных множеств, вводится понятие подмножества. В результате его изучения учащиеся должны владеть терминами «множество», «элемент множества», «подмножество» (знать определение этого понятия), а также понимать и уметь использовать соответствующую символику, приводить примеры конечных и бесконечных множеств, пустого множества.
Подчеркнём, что основному понятию теории множеств — понятию множества — нельзя дать строгое определение, так как оно является наиболее общим и ни в каких других понятиях не содержится. Обороты речи типа «множество — это совокупность предметов, объединённых в одно целое некоторым общим признаком» являются не математическим определением, а лишь попыткой разъяснить смысл этого термина. Из сказанного должно быть понятно: задавать детям вопрос «Что такое множество?» не следует.
В то же время важно, чтобы термин «множество» не ассоциировался у учащихся со словом «много». Они должны знать, что число элементов конечного множества может быть любым и что в математике рассматривается и так называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента.
При введении понятия подмножества учащиеся знакомятся со специальными схемами, с помощью которых принято иллюстрировать соотношения между множествами — кругами Эйлера (это название появляется в п. 10.3). Это чрезвычайно удобный наглядный инструмент, который часто облегчает рассуждения. Нужно, чтобы учащиеся не только разбирали и комментировали готовые схемы, но и научились самостоятельно их строить и опираться на них в ходе рассуждений.
Упражнения к пункту направлены на достижение двух целей: усвоение терминов и символики, введённых в тексте, а также обучение использованию теоретико-множественных понятий для описания уже известных учащимся фактов о числах и геометрических фигурах.
Комментарий к упражнениям
804. Конечным являются множества, указанные в заданиях «б» и «г». В сильном классе можно в каждом из этих случаев задать дополнительный вопрос: «Сколько элементов содержит это множество?»
805. а) Множество двузначных чисел, записанных с помощью одной цифры;
б) множество правильных дробей со знаменателем, равным 7;
в) множество натуральных чисел, кратных 5;
г) множество правильных дробей, у которых знаменатель на 1 больше числителя.
806. б) Пустым является множество С; это утверждение учащиеся должны обосновать, сославшись на соответствующую геометрическую теорему. А чтобы доказать, что множество D не пустое, они должны начертить четырёхугольник, у которого два прямых угла.
812. А Ì C. Можно провести аналогию с очевидным свойством неравенств: если а < b и b < c, то a < c (проиллюстрируйте это на координатной прямой).
813. Задание трудное, оно предназначено только для сильных учащихся, и лучше его дать после изучения п. 10.2.
1) Может. Возможны варианты: или B Ì C, или C Ì B (учащиеся должны сделать рисунки).
2) Может. Например: В — множество натуральных чисел, кратных 2;
С — множество натуральных чисел, кратных 3; А — множество натуральных чисел, кратных 6.
814. 8 подмножеств: 3 одноэлементных, 3 двухэлементных, пустое множество и само данное множество.
Операции над множествами
Методический комментарий
В этом пункте выделены два фрагмента. В первом из них рассматриваются две операции над множествами — объединение множеств и пересечение множеств. Учащиеся должны знать определение этих понятий, уметь иллюстрировать их на кругах Эйлера, выполнять эти операции над множествами в некоторых несложных случаях (в том числе находить объединение и пересечение множеств, когда одно из них является подмножеством другого или когда они не имеют общих элементов), приводить свои примеры.
Обращаем внимание учителя на упражнения 824 и 825, в которых круги Эйлера служат наглядной основой для построения словесных логических конструкций. Развивающий потенциал заданий такого рода очень высок. Поэтому при наличии времени можно предложить учащимся (на этих уроках или на следующих) упражнения, суть которых состоит в содержательной интерпретации схематических рисунков. Например:
1. На схеме большой круг изображает всех шестиклассников школы, круг М — тех из них, кто обучается ещё и в музыкальной школе, круг С — тех, кто занимается в какой-либо спортивной секции (ученики должны заготовить в своих тетрадях от руки шесть одинаковых рисунков, подобных рисунку 10.7 из учебника, обозначив малые круги буквами М и С). Покажите на рисунке штриховкой множество шестиклассников, которые:
а) занимаются и музыкой, и спортом;
б) не занимаются ни тем ни другим;
в) занимаются дополнительно только музыкой;
г) ходят в какую-либо спортивную секцию, но не занимаются музыкой;
д) занимаются дополнительно чем-то одним — или музыкой, или спортом;
е) имеют хотя бы одно из этих дополнительных занятий.
2. Задание, обратное предложенному выше. Ученикам предлагается какой-то сюжет и рисунок по типу рисунка 10.7, в котором заштрихована некоторая область. Требуется дать словесное истолкование выделенного множества.
Во втором фрагменте рассматривается понятие классификации. Заметим, что этот термин знаком учащимся уже с начальной школы. Теперь этому понятию даётся математическое истолкование с помощью теоретико-множественного языка. Смысл рассмотрения этого вопроса состоит в том, чтобы подчеркнуть возможность применения математического аппарата в самых разных областях человеческого знания. Изучение материала преследует общеобразовательные, общекультурные цели, поэтому не надо требовать от учащихся запоминания и воспроизведения текста учебника, в котором даётся математическое истолкование термина «классификация». Достаточно ограничиться объяснением и выполнением упражнений из учебника.
Комментарий к упражнениям
820. Данные слова — однокоренные. а) В пересечение множеств входят все буквы общего корня, т. е. з, и, м. б) Множество содержит 10 букв; это буквы, которые входят хотя бы в одно из данных слов.
821. Сначала множества С и D надо выписать.
а) Есть сложные моменты. Например, число –2 входит в множество С, но не входит в множество D, поэтому оно входит в их объединение, но не входит в пересечение.
822. а) Сначала надо задать перечислением элементов каждое из множеств А и В, т. е. выписать все делители числа 18 и числа 24. Пересечение множеств — это общие делители данных чисел. Наибольший элемент пересечения — наибольший общий делитель. Он равен 6.
б) Чтобы облегчить выполнение задания, надо выписать несколько первых элементов данных множеств. Множество А: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; множество В: 6, 12, 18, 24, 30, … . Пересечению множеств принадлежат числа, кратные и 4, и 6, т. е. их общие кратные. Это числа 12, 24, 36, … . Наименьший элемент этого множества — число 12; это наименьшее общее кратное чисел 6 и 4.
823. а) Числа, кратные и 2, и 5, т. е. кратные 10;
б) нечётные числа, кратные 5, т. е. числа, оканчивающиеся на 5;
в) числа, кратные 4;
г) числа, кратные 3.
В случаях «в» и «г» одно из данных множеств является подмножеством другого. В ходе рассуждений надо использовать схему (см. рис. 10.5 из учебника).
826. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество; объединение любого данного множества с пустым множеством есть данное множество. Аналогия со свойствами нуля при умножении и сложении чисел.