Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства
Определение:Произведением называется целое число
Теорема (корректность опр. произв-ия):произведения эквивалентных пар эквивалентны.
Доказательство:
(*)
, (1)
: (2)
: (3)
(4)
(5)
(6)
(5)* (7)
(8)
(4)+(8)
⊠
Теорема (коммутативность умножения):
Доказательство: ,
⊠
Теорема (Ассоциативность умножения):
Доказательство:
⊠
Теорема (Дистрибутивность):
Доказательство:
.
⊠
Следствие: Коммутативное кольцо.
Свойство: где единица.
Доказательство:
⊠
Коммутативное кольцо с единицей.
36. Отношение « » в кольце целых чисел и его корректность
Определение: Будем говорить, что целое число больше чем целое число , если обозначается .
Пример:
,
Теорема(Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.
Доказательство: ,
доказать:
⊠
37. Отношение « » как отношение порядка в кольце целых чисел. Свойство трихотомии
Определение:Будем говорить, что если или . Аналогично с .
Теорема: имеет место только одно из соотношений:
Доказательство:
и – натуральные числа, которые находятся в одном из следующих соотношений:
или или
или или . ⊠
Теорема:Отношение « » является отношением порядка на множестве Z.
Доказательство:
· Рефлексивность:
· Антисимметричность: и
· Транзитивность: и
Докажем:
⊠
38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел : определение, корректность определения, описание.
Определение: Будем говорить, что целое число положительное, если . И будем обозначать множество всех положительных целых чисел.
Свойство (корректность определения): Определение корректно.
Доказательство: ,
доказать:
⊠
Лемма: Множество имеет вид
Доказательство:
1) ,
2)
. ⊠
39. Биекция сохранение отношения «>», суммы и произведения. Отображение как вложение в
Свойство: биекция
Доказательство:
1) если отображение и иньекция
2) ⊠
Теорема: Отображение сохраняет отношение «больше чем», сумму ипроизведение.
Доказательство:
·
⊠
Следствие: Отображение является инъекцией, сохраняет сумму, произведение и отношение «>».
Таким образом, является вложением в и позволяет нам рассматривать как подмножество в .
40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. . Архимедовость и дискретность кольца целых чисел.
Свойство: Положительное число равно натуральному числу .
Доказательство:
. ⊠
Свойство: Любое целое число равно разности натуральных чисел .
Доказательство:
Рассмотримсумму
⊠
Определение: Целое число называется отрицательным, если
Свойство: Число положительное тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
положительное . ⊠
Свойство: , где .
Свойство (Архимедовость кольца целых чисел):
Доказательство:
1) Если (для архимедовость доказана)
2) Если ⊠
Свойство (дискретность): Каждое целое число имеет соседнее число , т.е.
Доказательство:
1) (для дискретность доказана)
2) Поставим в соответствие отрицательное число , . Получается биекция
От противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось , то тогда бы, так как – биекция, , что является противоречием для натуральных чисел.
3) Нет целого числа между 1, 0 и -1, 0
натурального числа перед целого числа между и
отрицательного перед целого числа между и . ⊠