Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение:Произведением Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru называется целое число

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема (корректность опр. произв-ия):произведения эквивалентных пар эквивалентны.

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (*)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (1)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru : Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (2)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru : Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (3)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (4)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (5)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (6)

(5)* Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (7)

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (8)

(4)+(8) Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема (коммутативность умножения): Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема (Ассоциативность умножения): Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема (Дистрибутивность): Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Следствие: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Коммутативное кольцо.

Свойство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru где Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru единица.

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Коммутативное кольцо с единицей.

36. Отношение « Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru » в кольце целых чисел и его корректность

Определение: Будем говорить, что целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru больше чем целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru обозначается Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Пример:

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема(Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

доказать: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru


37. Отношение « Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru » как отношение порядка в кольце целых чисел. Свойство трихотомии

Определение:Будем говорить, что Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru или Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . Аналогично с Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Теорема: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru имеет место только одно из соотношений: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru – натуральные числа, которые находятся в одном из следующих соотношений:

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru или Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru или Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru или Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru или Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . ⊠

Теорема:Отношение « Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru » является отношением порядка на множестве Z.

Доказательство:

· Рефлексивность: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

· Антисимметричность: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

· Транзитивность: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Докажем: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru : определение, корректность определения, описание.

Определение: Будем говорить, что целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru положительное, если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . И будем обозначать Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru множество всех положительных целых чисел.

Свойство (корректность определения): Определение корректно.

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

доказать: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Лемма: Множество Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru имеет вид Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство:

1) Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

2) Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . ⊠

39. Биекция Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru сохранение отношения «>», суммы и произведения. Отображение Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru как вложение Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru в Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Свойство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru биекция Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство:

1) если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru отображение и иньекция

2) Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Теорема: Отображение Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru сохраняет отношение «больше чем», сумму ипроизведение.

Доказательство:

· Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Следствие: Отображение Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru является инъекцией, сохраняет сумму, произведение и отношение «>».

Таким образом, Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru является вложением Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru в Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и позволяет нам рассматривать Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru как подмножество в Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . Архимедовость и дискретность кольца целых чисел.

Свойство: Положительное число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru равно натуральному числу Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . ⊠

Свойство: Любое целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru равно разности натуральных чисел Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Рассмотримсумму

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение: Целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru называется отрицательным, если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Свойство: Число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru положительное тогда и только тогда, когда Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Доказательство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru положительное Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . ⊠

Свойство: Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , где Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru .

Свойство (Архимедовость кольца целых чисел): Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство:

1) Если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (для Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru архимедовость доказана)

2) Если Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Свойство (дискретность): Каждое целое число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru имеет соседнее число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , т.е.

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Доказательство:

1) Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru (для Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru дискретность доказана)

2) Поставим в соответствие Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru отрицательное число Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . Получается биекция Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

От противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , то тогда бы, так как Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru – биекция, Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru , что является противоречием для натуральных чисел.

3) Нет целого числа между 1, 0 и -1, 0

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru натурального числа перед Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru целого числа между Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru

Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru отрицательного Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru перед Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru целого числа между Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru и Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства - student2.ru . ⊠


Наши рекомендации