И математическое описание элементов

Элемент включается в систему автоматики только строго определенными точками. Поэтому он в общем случае может рассматриваться в виде приведенного на рис. 1.2, а многополюсника, полюса которого соответствуют внешним координатам элемента.

а) б) в)

Рис. 1.2. Представление элемента многополюсником: а - общая схема;

б - схема с одним входом и выходом; в - упрощенная схема для много-

входового элемента

Все указанные на рис. 1.2 координаты - функции от времени. В их состав входят x₁, x₂, …., x_n - входные управляющие воздействия, y_1, y_2,…., y_n -- выходные величины, z₁, z₂,…., z_n - возмущающие воздействия. В процессе работы элемента им производится определенное функциональное преобразование входных координат в выходные. Возмущающими воздействиями называются любые воздействия, нарушающие требуемое функциональное соответствие между его выходными и входными координатами. К возмущающим воздействиям можно, например, отнести изменение величины напряжения питания элемента и изменение нагрузки по выходным величинам. Внутри элемента может быть выделена внутренняя координата n, которая имеет определяющее значение в формировании выходных величин и является функцией от входных управляющих воздействий. Координаты элемента - это функциональные аналоговые или дискретные величины, часто не совпадающие с их физическими носителями.

Большинство элементов, используемых в системах автоматики, имеют одну выходную величину и одно управляющее воздействие, как показано на рис. 1.2, б. Существуют также элементы, которые имеют одну выходную величину и несколько управляющих воздействий. В качестве возмущения обычно рассматривается основное, то есть наиболее существенно влияющее на характеристики элемента, возмущающее воздействие z. При наличии многих управляющих воздействий внутренняя координата n может рассматриваться как результирующее управляющее воздействие, как правило, связанное с управляющими воздействиями x₁, x₂, …., x_n формулой

n = k₁x₁ + k₂x₂+….+ k_nx_n, (1.1)

где k₁, k₂,….,k_n - постоянные коэффициенты, определяющие долю каждого управляющего воздействия в формировании координаты n. Данному представлению элемента соответствует рис. 1.2, в.

Если выходная величина y - ЭДС или напряжение, то при стабильном напряжении источника питания элемента в качестве основного возмущающего воздействия z обычно рассматривается возмущение по нагрузке, которым является ток выходной цепи элемента.

Любые изменения входных координат или возмущающих воздействий приводят к соответствующим изменениям выходных координат, которые протекают во времени и называются переходными процессами. Если переходный процесс устойчивый, то после его окончания (теоретически через бесконечно большое время) наступает установившейся режим, при котором все координаты будут неизменны во времени.

Зависимости выходных координат от времени, от входных и от возмущающих воздействий, характеризующие переходные процессы в элементе и его динамические характеристики, могут быть получены путем решения системы, в общем случае состоящей из дифференциальных уравнений, описывающих динамику координат инерционных частей элемента, и из алгебраических уравнений, описывающих соотношения между координатами частей без инерции. Данные уравнения могут быть нелинейными. Предельный переход в формулах зависимостей, полученных решением этих уравнений, к текущему времени, стремящемуся к бесконечности, преобразует их в зависимости, характеризующие установившейся режим элемента или его статику.

Получить статические зависимости можно и без решения дифференциальных уравнений. Для этого надо все производные по времени в этой системе уравнений приравнять к нулю, преобразовав ее к системе уравнений, описывающих статику. Решение этой системы алгебраических уравнений даст искомые статические зависимости.

Таким образом, упомянутая выше система дифференциальных и алгебраических уравнений является наиболее общим математическим описанием элемента, с помощью которого могут быть получены любые характеристики элемента и описано его функционирование в составе системы автоматики.

Полагаем, что элемент в статике характеризуется тремя координатами: x, y, z, которые неизменны и, следовательно, не являются функциями текущего времени. Выходная величина в данном случае представляет собой функцию двух переменных y=f(x, z).

Принимая возмущение z за постоянный параметр, получим семейство характеристик

y = j(x) при z = const, (1.2)

которые называются характеристиками управления. Данная зависимость выходной координаты от входной характеризует управляющее свойство элемента.

Если возмущение по нагрузке z принять за аргумент, а входное воздействие x за постоянный параметр, то функция y = f(x, z) может быть представлена другим семейством характеристик:

y = ψ(z) при x = const, (1.3)

которые называются внешними или нагрузочными характеристиками.

Примерный вид характеристик управления и внешних характеристик приведен на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Статические характеристики элемента: а - управления;

б - внешние

Возмущения по нагрузке делают неоднозначными характеристики управления и ухудшают управляющие свойства элемента, нарушая определенность передачи управляющего входного сигнала элементом. С уменьшением наклона внешних характеристик, то есть с уменьшением dy/dz, уменьшаются искажения характеристик управления и при абсолютно жестких внешних характеристиках, когда dy/dz = 0 во всем диапазоне изменения x и z, все характеристики управления вырождаются в одну характеристику управления y = j(x), не зависящую от нагрузки z. При этом управляющие свойства элемента полностью определяются только входным воздействием x.

Если элемент имеет несколько входов, то при построении характеристик управления и внешних характеристик в качестве управляющего воздействия x используется результирующее управляющее воздействие n, которое определяется формулой (1.1).

В зависимости от вида рассмотренных выше статических характеристик (линейные или нелинейные) различают соответственно линейные и нелинейные элементы систем автоматики. Следует помнить, что статические характеристики реально существующих элементов, как физических устройств, всегда в какой то мере нелинейны. Однако в инженерных методиках расчета следует учитывать влияние нелинейности и считать элемент нелинейным лишь в случае, когда его статические характеристики в рабочем диапазоне изменения координат сильно отличаются от прямой линии. В противном случае статические характеристики в рабочем диапазоне изменения координат принято с достаточной для инженерных расчетов точностью считать прямыми линиями, а элемент считать линейным.

Статический коэффициент передачи элемента по управляющему воздействию равен k = Dy/Dx, где Dx - малое приращение управляющего воздействия x в окрестности некоторой точки на характеристике управления, а Dy - соответствующее этому приращению приращение выходной величины y.

Статический коэффициент передачи элемента по возмущающему воздействию равен k_z = Dy/Dz, где Dz - малое приращение возмущающего воздействия z в окрестности некоторой точки на внешней характеристике, а Dy - соответствующее этому приращению приращение выходной величины y.

Если элемент нелинеен, то значения коэффициентов передачи для разных точек характеристик будут различными, если линеен - то одинаковыми.

При охвате элемента отрицательной обратной связью по выходной координате нелинейность статических характеристик уменьшается, но при этом уменьшается и его результирующий коэффициент передачи. Уменьшение нелинейности характеристики управления таким способом поясняется рис. 1.4.

Результирующий коэффициент передачи определяется по известной из теории регулирования формуле

.

	Рис. 1.4. Охват элемента отрицательной обратной связью по выход-ной координате: 1- суммирующее устройство; 2 - исходный элемент с коэффициентом передачи управляющего воздействия x, равном k; 3 - датчик сигнала обратной связи xос по выходной величине y; 4 - полученный после охвата обратной связью элемент с результиру- ющим коэффициентом передачи kрез

Основными характеристиками, отражающими динамические свойства (быстродействие) элемента, являются его переходные характеристики.

Переходная характеристика по управлению h(t) описывает изменение выходной величины y(t) в функции времени t после подачи на вход элемента единичного ступенчатого входного воздействия x(t)=1(t).

Переходная характеристика по возмущению h_z(t) описывает изменение выходной величины y(t) в функции времени t после подачи на вход элемента единичного ступенчатого возмущающего воздействия z(t)=1(t). Единичная функция может быть задана в кусочно-аналитическом виде:

Переходные характеристики в общем случае получаются в результате нахождения при нулевых начальных условиях выходной переменной y(t) из системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику элемента. Полагая при этом, что входное воздействие x(t) будет равно 1, а возмущение z(t) будет равно нулю, получим решение в виде переходной характеристики по управлению h(t) = y(t). Если предположить, что x(t) равно нулю, а z(t) равно 1, получим решение в виде переходной характеристики по возмущению h_z(t) = y(t).

Для решения задач анализа и синтеза систем автоматики может использоваться математическая модель элемента в виде упомянутой ранее системы из дифференциальных и алгебраических уравнений. Некоторые из методов анализа и синтеза систем автоматики основаны на применении такого описания. Они предполагают решение системы уравнений во временной области, как правило, численными методами и с применением средств вычислительной техники. Эти методы, зачастую, малонаглядно отражают работу отдельных элементов в составе системы автоматики и неудобны для диалога с пользователем.

С точки зрения простоты и наглядности, более удобно использование математической модели элемента в виде структурной схемы. Структурной схемой элемента называется графическое изображение его математической модели в виде соединений звеньев. Звено - это часть математической модели, обычно достаточно простая. Все звенья, входящие в структурную схему, за исключением суммирующих, удобно представлять с одним входом и одним выходом и, соответственно, с одной входной и одной выходной координатой. Звенья, осуществляющие функцию суммирования входных координат, имеют несколько входов и один выход. Звено на структурной схеме изображается прямоугольником с указанием входных и выходных величин и передаточной функции внутри него. Передаточной функцией линейного звена (передаточной функцией в форме изображений Лапласа) называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. При таком представлении передаточной функции входные и выходные величины задаются в операторной форме в виде изображений.

Используя известные методы преобразования структурных схем, любую сложную структуру линейного элемента можно преобразовать к одному эквивалентному ей звену с одной входной и одной выходной координатами. Вид передаточной функции этого эквивалентного звена определяется координатами элемента, которые используются в качестве входной и выходной величин звена.

Если в составе элемента присутствуют существенно нелинейные звенья, и математическая модель должна использоваться в режиме больших отклонений координат нелинейных звеньев от их установившихся значений, то в структурную схему элемента вводятся нелинейные звенья. Нелинейные звенья в математической модели - это нелинейные статические зависимости между координатами звеньев, которые могут задаваться аналитически, таблично или графически.

На практике часто бывают случаи, когда элемент работает в режиме малых отклонений координат от их установившихся значений, например, при работе элемента в составе автоматической системы стабилизации каких-то параметров. В режиме малых отклонений изменения значений статических коэффициентов передачи даже существенно нелинейных звеньев малы, и эти звенья в инженерных расчетах можно считать линейными. Значения коэффициентов звеньев в данном случае с достаточной точностью определяются отношением малых приращений выходной и входной координаты относительно координат точки рассматриваемого статического режима.

Если в структуру элемента входят нелинейные звенья, то его нельзя представить в виде одного эквивалентного линейного звена.

Следует отметить, что от модели в виде структурной схемы можно перейти к модели в виде системы уравнений, используя известные алгоритмические приемы, которые хорошо формализованы и легко реализуются программными средствами вычислительной техники. Такое преобразование осуществляется многими современными численными методами анализа и синтеза систем автоматики. Для этих методов характерны удобный диалог с пользователем, как правило, на основе графического интерфейса, хорошая точность результатов расчета и возможность достаточно простого учета влияния нелинейностей.

При исследовании и проектировании систем автоматики бывают полезными логарифмические амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики элементов или их звеньев. На основании частотных характеристик могут быть определены их динамические свойства, а также динамические и статические свойства замкнутых систем, содержащих эти элементы.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой элемента или его звена называется график зависимости амплитуды гармонического выходного сигнала от угловой частоты гармонического входного сигнала единичной амплитуды. Амплитуда и частота по осям графика откладываются в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой элемента или его звена называется график зависимости сдвига фаз между гармоническим выходным сигналом и гармоническим входным сигналом от угловой частоты гармонического входного сигнала единичной амплитуды. Значения частоты откладываются в логарифмическом масштабе, значения фазы - в обычном.

Частотные характеристики используются при частотных методах исследования и проектирования автоматических систем. Для этих методов характерны простые инструментальные средства, легкость прогнозирования результатов расчета и проектирования и невысокая точность. В связи с небольшой точностью частотных методов и доступностью в настоящее время средств вычислительной техники, на которой базируются методы анализа и синтеза систем во временной области изменения координат, частотные методы постепенно утрачивают широкое распространение, особенно в научной практике.

Более подробно вопросы математического описания различных элементов и их характеристики рассмотрены в /1, 4/.

Вопросы для самопроверки

1. Какую особенность элемента характеризует представление его в виде многополюсника?

2. Назовите внешние координаты элемента.

3. Какая координата элемента называется внутренней?

4. Какое возмущающее воздействие, действующее на элемент, называется основ-ным?

5. Сколько входных и выходных координат характерно для реальных типовых элементов?

6. Что может рассматриваться в качестве основного результирующего входного воздействия элемента при наличии многих внешних управляющих воздействий?

7. Что обычно является основным управляющим воздействием для элемента, выходная координата которого - ЭДС или напряжение?

8. Что такое координата элемента как функциональная величина?

9. Что такое физический носитель координаты элемента?

10. Что такое переходный процесс в элементе и когда он начинается?

11. Что такое статический режим элемента и когда он существует?

12. Что можно считать наиболее общим математическим описанием элемента в динамических и статических режимах его работы?

13. Что такое семейство характеристик управления элемента?

14. В каких осях координат строятся графики характеристик управления элемента?

15. Что такое семейство внешних характеристик элемента?

16. В каких осях координат строятся графики внешних характеристик элемента?

17. Когда элемент имеет единственную характеристику управления?

18. По виду каких характеристик можно судить о линейности или нелинейности элемента?

19. По изменению какого показателя статических характеристик оценивается величина нелинейности элемента?

20. Может ли реальный элемент быть абсолютно линейным?

21. В каких режимах работы систем автоматики даже существенно нелинейный элемент при инженерных расчетах может считаться линейным?

22. Как сказывается на линейности и результирующем коэффициенте передачи элемента охват его отрицательной обратной связью по выходной координате?

23. Какие свойства элемента отражены в его переходной характеристике?

24. В каких осях координат строятся графики переходных характеристик элементов?

25. Какой форме входного воздействия соответствует переходная характеристика элемента?

26. Что такое математическая модель элемента в виде структурной схемы?

27. Что такое звено структурной схемы элемента?

28. Что такое передаточная функция линейного звена в форме изображений по Лапласу?

29. Возможен ли переход от модели элемента в виде структурной схемы к его модели в виде системы дифференциальных и алгебраических уравнений?

30. Когда структурную схему элемента можно представить в виде одного эквивалентного линейного звена?

31. Какие свойства элемента могут быть определены на основании данных его амплитудной частотной и фазовой частотной характеристик?

32. Какие свойства замкнутой системы могут быть определены на основании данных амплитудных частотных и фазовых частотных характеристик входящих в нее элементов?

33. Что является основными достоинствами частотных методов анализа свойств замкнутой системы?

34. Что является основным недостатком частотных методов анализа свойств замкнутой системы?